calcolo di un limite
Buongiorno, avrei bisogno di un aiuto per risolvere il seguente limite: $ \lim_{x \to \ - \infty} \frac{(x^5 * 3^x) + 2^x}{(x^4 * 4^x) + 3^x} $ risolvendolo a me viene il seguente risultato ma non sono sicuro che sia giusto: $ \lim_{x \to \ - \infty} \frac{x}{(4/3)^x}= -\infty $ Vi ringrazio in anticipo.
il 09 Agosto 2016, da francesco paoli
Ciao Francesco! Il limite che dici tu vale proprio $- \infty$. Vediamo perché. Gli esponenziali dopo il $+$, sia al numeratore che al denominatore, possiamo ignorarli: per $x \to - \infty$, essendo le basi $> 1$, tendono a $0$ entrambi, come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-di-esponenziali-e-logaritmi-spiegazione-5916.html. Quindi possiamo dire che$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ x^5 * 3^x + 2^x}{x^4 * 4^x + 3^x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{ x^5 * 3^x }{x^4 * 4^x}$$Semplificando la frazione otteniamo $x\dfrac{3}{4}^x$; ora nel limite $\lim_{x \to \infty} x\dfrac{3}{4}^x$ risulta una forma di indecisione (che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html), nella fattispecie "$\infty \cdot 0$": possiamo risolvere la questione con un semplice trucco ed il teorema di de l'Hopital (che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/usare-de-l-hopital-per-risolvere-forme-indeterminante-nei-limiti-9658.html). Riscrivendo infatti la funzione come l'hai scritta tu, cioè $\dfrac{x}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}$, cadiamo nel caso $\frac{\infty}{\infty}$, il che ci permette di applicare il teorema. Derivando (attenzione all'esponenziale, guarda qui https://library.weschool.com/lezione/derivate-di-funzioni-elementari-tabella-e-promemoria-7166.html) otteniamo $\dfrac{1}{\ln\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{4}{3}\right)^x}$, il cui limite per $x \to -\infty$ è $\infty$. Il segno di questo infinito è dato dal segno della funzione $x\dfrac{3}{4}^x$ che, per $x < 0$, è negativo. Quindi, in conclusione, il limite di partenza vale proprio $-\infty$! Bravo! Ciao e buona giornata.
ok !.. Grazie - francesco paoli 26 Agosto 2016