Chiarimento sull'andamento della tangentoide

Ciao Valerx, credo tu abbia male interpretato i testi che hai letto. Infatti, utilizzando la definizione “standard” di funzione strettamente crescente con dominio $D$, cioè $$ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \forall x_1, x_2 \in D $$ la funzione tangente non risulterebbe strettamente crescente, almeno non in tutto $D$: infatti, lo è soltanto quando ci limitiamo ad osservarla all’interno di un intervallo della forma $I_k = (-k\frac{\pi}{2}, k\frac{\pi}{2})$ al variare di $k \in \mathbb{N}$. In altre parole, nel nostro caso vale $$ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \forall x_1, x_2 \in I_k, \forall k \in \mathbb{N} $$ che sostanzialmente è la definizione originale ristretta a ciascun $I_k$ (una volta scelto un $k$ specifico). Bisogna però notare che l’unione di tutti gli $I_k$ costituisce tutto il dominio $D$ della funzione tangente (che infatti è definita dappertutto tranne che in $-k\frac{\pi}{2}, k\frac{\pi}{2}$ con $k \in \mathbb{N}$); per questo motivo alcuni testi affermano che la funzione tangente è crescente in tutto $D$. Spero di aver chiarito il problema, se hai bisogno di altri chiarimenti non esitare a scrivermi! :)

Ciao Valerx, credo tu abbia male interpretato i testi che hai letto. Infatti, utilizzando la definizione “standard” di funzione strettamente crescente con dominio $D$, cioè $$ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \qquad \forall x_1, x_2 \in D $$ la funzione tangente non risulterebbe strettamente crescente, almeno non in tutto $D$: infatti, lo è soltanto quando ci limitiamo ad osservarla all’interno di un intervallo come $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, oppure $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, ma anche $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$, e così via. In altre parole, chiamando $I_k$ tutti questi intervalli (potremmo identificare ciascun $I_k$ con il suo punto medio $k\pi$, al variare di $k \in \mathbb{Z}$), nel nostro caso vale $$ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \qquad \forall x_1, x_2 \in I_k, \quad \forall k \in \mathbb{Z} $$ che sostanzialmente è la definizione originale ristretta a ciascun $I_k$ (una volta scelto un $k$ specifico). Bisogna però notare che l’unione di tutti gli $I_k$ costituisce tutto il dominio $D$ della funzione tangente (che infatti è definita dappertutto tranne che in $-k\frac{\pi}{2}, k\frac{\pi}{2}$ con $k \in \mathbb{N}$ e $k$ dispari); per questo motivo alcuni testi affermano che la funzione tangente è crescente in tutto $D$. Spero di aver chiarito il problema, se hai bisogno di altro non esitare a scrivermi! :)

Ciao, ho compreso tutto quello che hai descritto nel video. Ma un dubbio mi sorge, come noi consideriamo il valore di π quando abbiamo la ctg di a/x? - Terlizzi Federica 13 Marzo 2016