de l hopital
Mi aiutate a capire de l hopital con un esempio scritto? grazie!!
il 02 Febbraio 2016, da David Zuccari
Ciao David! Il teorema di de l'Hopital lo spieghiamo in questo video https://library.weschool.com/lezione/usare-de-l-hopital-per-risolvere-forme-indeterminante-nei-limiti-9658.html. Per fare un esempio, cerchiamo di calcolare il limite $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln \left( \ln (x + 1)\right)}{\ln(x)} $$Come puoi vedere, si tratta di un limite che coinvolge il rapporto di due funzioni continue e derivabili su $\mathbb{R}^+$, e siamo di fronte alla forma di indecisione $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Possiamo allora dire che quel limite è uguale al limite che si ottiene mettendo, a numeratore e denominatore, le derivate delle funzioni anziché le funzioni stesse. Dobbiamo quindi calcolare la derivata di $\ln(x)$, che non è un problema (è una derivata elementare: https://library.weschool.com/lezione/derivate-di-funzioni-elementari-tabella-e-promemoria-7166.html); mentre per la derivata di $\ln(\ln(x+1))$ dobbiamo usare la regola di derivazione delle funzioni composte: la ricordiamo in questo video https://library.weschool.com/lezione/come-calcolare-derivata-di-funzione-composta-matematica-9326.html. Abbiamo: $\left(\ln\left( \ln ( x + 1 ) \right) \right)' = \ln' \left( \ln(x+1)\right) \cdot \ln'(x+1)= \frac{1}{\ln(x+1)} \cdot \frac{1}{x+1}$. Ora sostituiamo i nostri risultati nel limite: $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln \left( \ln (x + 1)\right)}{\ln(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{\ln(x+1)} \cdot \frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x+1} \cdot \frac{x}{\ln(x+1)}$$Qui possiamo usare il limite notevole $\lim_{x \to 0}{\ln(x+1)}{x} = 1$, come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html, da cui deduciamo che il limite di partenza vale $1$: infatti $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x+1} \cdot \frac{x}{\ln(x+1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x+1} \cdot 1 = 1$$. Spero che sia tutto chiaro! Se hai dei dubbi, chiedi pure. Ciao e buona giornata :3