determinare l'equazione della circonferenza

Finalmente ho risolto il problema che io stesso avevo posto. Il mio errore è stato quello d'essermi convinto del fatto che dovendo posizionare la trave il più in alto possibile, per forza di cose doveva essere tangente sia alla retta passante per i due punti A e B , sia all'asse delle ordinate Y. In tal modo dovevo risolvere due sistemi : il primo tra l'equazione canonica della circonferenza e la retta per A e B e il secondo sempre tra l'equazione canonica della circonferenza e l'asse delle ordinate x=0. Ma così facendo avrei avuto due equazioni risolventi e tre incognite : a, b e c. Ero ad un punto morto perché non c'era verso di trovare la terza equazione che, unita alle altre due mi avrebbe permesso di determinare i 3 coefficienti a , b e c. Quella, non era la strada giusta. La soluzione l'ho trovata seguendo un ragionamento del tutto diverso. L'ipotesi che, porre la trave quanto più in alto possibile, equivale a dire che la stessa è tangente alle due rette. Questo è vero. L'equazione della retta passante per i due punti A e B è : ( y-y1 )/(y2-y1) = ( x-x1 )/(x2-x1) che nel nostro caso diventa : (y-2)/(1/2-2) = x/2 cioè : y = - 3/4 * x + 2 Tracciamo ora la retta passante per C e parallela all'asse Y ; questa retta è la x=1/5, cioè la retta avente per ascissa la misura del raggio della trave. Questa misura è proprio la prima coordinata del centro C: C(1/5; ? );dobbiamo ora trovare l'ordinata . L'intersezione tra questa retta e quella passante per i punti A e B , individua il punto T . y = - 3/4 * x + 2 y= -3/4 * 1/5 +2 sistema sistema x=1/5 x=1/5 y= -3/20 + 2 y= 37/20 che rappresenta l'ordinata di T. Pertanto le coordinate di T sono : T (1/5 ; 37/20) Il segmento AT vale : AT2 = (xT - xA)2 * (yT-yA)2 AT2= (1/5)2+(37/20 - 2)2 da cui : AT = 1/4 La proiezione di T sull'asse delle ordinate, incontra in M quest'ultima. Consideriamo il triangolo AMT . In questo triangolo AM vale : AM2 = AT2 - MT2 e cioè : AM2 = 1/16 - 1/25 ovvero : AM = 3/20 Tracciamo ora la parallela per C alla retta y= - 3/4 * x + 2 Così facendo , la parallela per C incontrerà in S l'asse delle ordinate. Consideriamo ora i triangoli : AMT ; CKT e CHS dove : AM = TK = HS = 3/20 in quanto derivati da triangoli simili Calcoliamo CT ricordando che CK = r = 1/5 : CT2 = TK2 + CK2 = (3/20)2 + (1/5)2 e quindi : CT = 5/20 Detto L l'intersezione in x della retta per C : cioè x=1/5 , la misura CL sarà data da: CL = TL - TC = 37/20 - 5/20 = 8/5 che non è altro che l'ordinata di C cercata. Riepilogando : il centro C della trave ha coordinate C( 1/5 ; 8/5 ) A questo punto, la determinazione dell'equazione della circonferenza è banale perché : da α ꓿ 1/5 e β ꓿ 8/5 avremo : a = -2 α = - 2/5 e b = - 2 β = - 16/5 Inoltre da : r2 = α2 + β2 - c ricavandoci c avremo : c = 1/25 + 64/25 - 1/25 = 64/25 Trovati così i valori di : a = -2/5 b = -16/5 c = 64/25 l'equazione della circonferenza è : x2 + y2 - (2/5)x - (16/5)y + 64/25 =0