dimostrazione moltiplicazione tra due vettori

Ciao Andrea! Mettiamoci nella situazione da te proposta: prendiamo cioè due vettori $\vec{a} = \left ( \begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{smallmatrix} \right ), \vec{b} = \left ( \begin{smallmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{smallmatrix} \right )$, le cui componenti sono state scritte in relazione a una base ortonormale $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$. Questo significa che ##KATEX##\begin{aligned} \vec{a} & = a_1\vec{e}_1 + a_2\vec{e}_2 + a_3\vec{e}_3 \\ \vec{b} & = b_1\vec{e}_1 + b_2\vec{e}_2 + b_3\vec{e}_3 \end{aligned}##KATEX##Proviamo adesso a calcolare $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Sfruttando le proprietà del prodotto scalare otteniamo, dopo un po’ di conti: ##KATEX##\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} = & a_1b_1 \left ( \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1\right ) + a_2b_2 \left ( \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2\right ) + a_3b_3 \left ( \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3\right ) + \\ & + (a_1b_2 + a_2b_1) \left ( \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2\right ) + (a_1b_3 + a_3b_1) \left ( \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3\right ) + (a_2b_3 + a_3b_2) \left ( \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3\right )\end{aligned}##KATEX##A questo punto ci ricordiamo che la base è ortonormale: questo significa che $\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = 0$ per ogni $i \neq j$ (significato di “orto-”: i vettori sono perpendicolari, e quindi il prodotto scalare tra loro è nullo) e che $\vec{e}_i \cdot \vec{e}_i = 1$ per ogni $i$ (significato di “-normale”: il prodotto scalare di un vettore per sé stesso è pari alla sua norma, e i vettori normalizzati hanno norma pari a $1$). Gli ultimi tre termini sono quindi uguali a zero, e i primi tre possono essere riscritti semplicemente come $a_1b_1$, $a_2b_2$ e $a_3b_3$. In conclusione otteniamo proprio la formula $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$che è quello che volevamo dimostrare. Nella tua domanda parlavi di “base canonica” ma come vedi la dimostrazione funziona per una qualsiasi base ortonormale (non ho mai fornito un’espressione per i vettori della base, ma ho solo utilizzato le loro proprietà). Se hai altre domande, fammi sapere! :)