Disequazioni dei logaritmi
Log(x^2+17x+16)<2
il 12 Novembre 2015, da Giulia Giudice
Ciao Giulia! Un piccolo problema tecnico si è mangiato parte della tua domanda; perdonaci. Permettimi di riscrivere la disequazione qui sotto, cosicché tutti la possano visualizzare:$$ \text{Log }( x^2 + 17 x + 16 ) < 2 $$Suppongo che la base del logaritmo sia $10$, dato che, di solito, il logaritmo indicato con la lettera maiuscola, $\text{Log}$, indica proprio il logaritmo in base $10$. Abbiamo un itero corso sulle equazioni e le disequazioni logaritmiche, cui ti consiglio di dare un'occhiata: https://library.weschool.com/corso/esponenziali-e-logaritmi-9433.html (ci sono dentro anche gli esponenziali, ma non fanno male). Qui invece https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-logaritmiche-logaritmi-esercizi-svolti-esempi-9375.html torvi degli esercizi svolti. Per risolvere questa disequazione bisogna procedere in questo modo: innanzitutto poniamo la condizione di esistenza del logaritmo, che deve avere il proprio argomento strettamente positivo. Le condizioni di esistenza sono quindi $ x^2 + 17 x + 16 > 0$, che per soluzione ha $x < -16 \vee x > -1$ (la risoluzione di una disequazione di secondo grado la trovi spiegata qui https://library.weschool.com/lezione/risolvere-disequazioni-secondo-grado-intere-tabella-delta-12960.html). Poi, se (e sottolineo $\text{se}$) la base del logaritmo è $10$, possiamo porre entrambi i membri della disequazione come esponente di $10$, di modo da eliminare il logaritmo; il verso della disequazione rimane lo stesso, essendo $10 > 1$. Abbiamo allora la disequazione $ x^2 + 17 x + 16 < 10^2 $, la cui soluzione è $-21 < x < 4$. Ora non dimentichiamoci di intersecare soluzione e condizioni di esistenza! In definitiva la soluzione della tua disequazione è $$ -21 < x < -16 \vee -1 < x < 4 $$Fammi sapere se ti tornano i conti, o se ho sbagliato qualcosa! Ciao e buona serata :D