dominio funzioni esponenziali

Ciao di nuovo, Francesco :) La funzione $$y = \sqrt{\frac{2^x - 1}{2^{-x} - 2}}$$presenta una radice di indice pari e un denominatore: quindi dobbiamo porre l'argomento della radice maggiore o uguale a zero, mentre il denominatore diverso da zero. In sostanza bisogna risolvere il seguente sistema: $$\begin{cases} \frac{2^x - 1}{2^{-x} - 2} \geq 0 \\ 2^{-x} - 2 \neq 0 \end{cases}$$In realtà la seconda condizione è superflua, se si risolve correttamente la prima disequazione; in ogni caso la ripetiamo per completezza. La prima disequazione è fratta, e si risolve facendo riferimento alle tecniche utilizzate per risolvere le disequazioni di tipo esponenziale (ecco un contenuto che ne parla: https://library.weschool.com/lezione/studiare-risolvere-disequazioni-esponenziali-con-esercizi-svolti-9370.html). Dopo un po' di passaggi (che se vuoi rivediamo insieme) la soluzione che otteniamo è $-1 < x \leq 0$; la condizione $2^{-x} - 2 \neq 0$ è equivalente a $x \neq -1$, che - come ci aspettavamo - è già contenuta nella soluzione della disequazione. In conclusione il dominio della funzione è $$-1 < x \leq 0$$Tutto chiaro? Se vuoi che ti spieghi meglio i vari passaggi, dimmi pure :)

Ciao Michele, ti ringrazio di nuovo per la risposta tempestiva, ti volevo chiedere se puoi farmi vedere tutti i passaggi perchè ho qualche dubbio da chiarirmi... ti ringrazio ciao - francesco paoli 06 Luglio 2015

Certamente, ti spiego tutto! I principali calcoli da svolgere qui sono legati alla disequazione presente nel sistema, che come ti dicevo è fratta. Bisogna quindi analizzare il segno di numeratore e denominatore, confrontarli e capire di conseguenza il segno globale della frazione: è lo stesso procedimento che si adotta per frazioni polinomiali (cioè quando si affrontano disequazioni polinomiali fratte). Prendiamo il numeratore $N$ e lo poniamo maggiore o uguale a zero: $$2^x - 1 \geq 0$$Questa è una disequazione esponenziale elementare: la sua soluzione è $x \geq \log_2(1)$ (il verso della disequazione rimane inalterato dato che la base, $2$, è maggiore di $1$). Dato che $\log_a(1) = 0$ per qualunque base $a > 0$, possiamo dire:$$N \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \geq 0$$Adesso poniamo $D > 0$; cioè, troviamo le soluzioni della disequazione $$2^{-x} - 2 > 0$$Anche questa è una disequazione esponenziale elementare, e si svolge in questo modo (in maniera analoga a quanto fatto per il numeratore): $$-x > \log_2(2) \quad \Rightarrow \quad x < -\log_2(2) \quad \Rightarrow \quad x < -1$$Abbiamo quindi scoperto questo: $$\begin{cases} N < 0, D > 0 & \text{per }x < -1; \\ N \leq 0, D < 0 & \text{per }-1< x \leq 0; \\ N \geq 0, D < 0 & \text{per }x \geq 0. \end{cases}$$e quindi $$\begin{cases} \frac{N}{D}< 0 & \text{per }x < -1; \\ \frac{N}{D}\geq 0 & \text{per }-1< x \leq 0; \\ \frac{N}{D}\leq 0 & \text{per }x \geq 0. \end{cases}$$Questo mostra come l’intervallo che dobbiamo scegliere è proprio $-1< x \leq 0$. Ti faccio notare che il valore $-1$ è stato escluso dall’analisi perché annulla il denominatore $D$; questa è proprio la seconda condizione del sistema, tra l’altro. Meglio ora? :) - Michele Ferrari 07 Luglio 2015