equazione irrazionale parametrica

Ciao Evaristo! Allora, dobbiamo seguire dei passaggi ben precisi, che elenchiamo qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-disequazioni-parametriche-irrazionali-condizioni-di-esistenza-esercizi-svolti-15840.html. Primo, evidenziamo le condizioni di esistenza. Secondo, isoliamo il radicale mediante passaggi algebrici. Terzo, risolviamo l'equazione per ogni casistica dei parametri. Quarto, ci chiediamo se ciascuna di queste soluzioni è coerente con quanto fatto e richiesto ai passaggi precedenti. Per il primo punto non credo ci siano problemi: abbiamo un radicale pari, al denominatore, dovremo porre il radicando strettamente positivo:$$\begin{cases} \text{Per } a > 0 & x \in \mathbb{R} \\ \text{Per } a = 0 & x \neq 0 \\ \text{Per } a < 0 & x \in (-\infty,-\sqrt{-a}) \cup (\sqrt{-a},\infty) \end{cases}$$Inoltre, notiamo che il numeratore $a^2 + a$ si annulla per $a = 0$ o $a = -1$: questi due casi andranno studiati separatamente. Per $a \neq 0 \vee -1$ andiamo a risolvere l'equazione $ \frac{ a^2+a}{\sqrt{a+x^2}} - 2x = 2\sqrt{a+x^2} $. Per isolare il radicale possiamo moltiplicare ambo i lati proprio per il radicale, ottenendo $ a^2 +a -2 x \sqrt{a+x^2} = 2 \left(a + x^2 \right) $. Questo lo possiamo fare (non stiamo moltiplicando per $0$) perché abbiamo imposto le condizioni di esistenza. Ora isoliamo il radicale spostandolo a destra dell'uguale, e mettiamo tutto il resto a sinistra: $a^2 - a - 2 x^2 = 2 x \sqrt{a+x^2} $. Ora qui sta il passaggio cruciale: dobbiamo elevare ambo i membri al quadrato. Ti consiglio di seguire questa lezione: https://library.weschool.com/lezione/equazioni-irrazionali-fratte-esercizi-equazione-irrazionale-procedimento-14338.html. La soluzione provvisoria a cui arriviamo è $ x = \pm \dfrac{a - 1}{2} $. La scelta del segno deriva dalle condizioni di accettabilità: per $x\neq 0$, queste si riducono a $ \frac{a^2 -a -2x^2}{2x} \geq 0 $; sostituendo la soluzione provvisoria al valore di $x$ otteniamo la seguente disequazione:$$ \frac{a^2 -a - 2 \frac{(a-1)^2}{4}}{\pm (a - 1)} \geq 0 $$Dopo vari passaggi algebrici, si ottiene la disequazione equivalente$$ \frac{a^2 - 1 }{\pm (a-1)} \geq 0 $$Il segno da scegliere nella soluzione è quello che rende vera questa disequazione: semplificando numeratore e denominatore, abbiamo che per $a > -1$ sotto vogliamo un $+$, mentre per $a < -1$ occorre un $-$. So che il procedimento sembra complicato, ma non lo è: è solo lungo. Ricorda i passaggi: condizioni di esistenza, isolare il radicale, trovare soluzione provvisoria, imporre condizioni di accettabilità. E non dimentichiamoci i casi particolari: $a = 0$ ed $a = -1$! In definitiva, la soluzione può essere riassunta così:$$\begin{cases} \text{Per } a < -1 & x = -\dfrac{a-1}{2} \\ \text{per } a = -1 & \text{Impossibile } \\ \text{per } -1 < a < 0 & x = \dfrac{a-1}{2} \\ \text{per } a = 0 & x < 0 \\ \text{per } a > 0 & \dfrac{a-1}{2} \end{cases}$$Spero sia tutto chiaro! Se hai altri dubbi, chiedi pure :D Ciao e buona serata!