equazione irrazionale parametrica

Ciao Evaristo! Dunque, di seguito ti metto i passaggi solo nel caso $a > 0$; il caso particolare $a = 0$ è un'equazione abbastanza semplice, e il caso $a < 0$ è del tutto analogo al suo gemello positivo. Partiamo dalle C.E.: come già detto qui https://library.weschool.com/domanda/equazione-irrazionale-parametrica-21654.html, abbiamo che le condizioni di esistenza si riducono a $ x > 0 $. Ne terremo presente alla fine. Ora seguiamo diligentemente tutti i passaggi elencati qui: https://library.weschool.com/lezione/equazioni-irrazionali-fratte-esercizi-equazione-irrazionale-procedimento-14338.html. Partiamo da$$ \sqrt{1 + \frac{8a}{x}} = 1 + \frac{2a}{ \sqrt{x} } $$Vediamo di eliminare la radice dal membro di sinistra: per farlo, dobbiamo imporre che ambo i membri siano $\geq 0$, altrimenti avremmo qualcosa di impossibile (un numero negativo uguale a una radice quadrata, ad esempio). Elevando i membri al quadrato, otteniamo che l'equazione è equivalente al sistema$$ \begin{cases} 1 + \frac{2a}{ \sqrt{x} } \geq 0 \\ 1 + \frac{8a}{x} \geq 0 \\ 1 + \frac{8a}{x} = \left( 1 + \frac{2a}{ \sqrt{x} } \right)^2 \end{cases}$$La prima disequazione è facile da verificare: siccome $a > 0$, e una radice quadrata è sempre positiva, abbiamo che $1 + \frac{2a}{ \sqrt{x} }$ è la somma di due numeri sicuramente positivi, e, quindi, positivo a sua volta; ogni volta che le C.E. sono soddisfatte, questa disequazione funziona. La seconda disequazione è abbastanza facile (si risolve come indicato qui https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html), e ha come soluzione $ x \geq 0 \vee x \leq -8a $. Ora manipoliamo algebricamente l'equazione e arriviamo quindi al sistema$$ \begin{cases} x \geq 0 \vee x \leq -8a \\ \frac{x + 8a}{x} = 1 + \frac{4a^2}{x} + \frac{4a}{ \sqrt{x} } \end{cases} $$Ora focalizziamoci sull'equazione perché, come preannunciato, dovremo "mandare via" un'altra radice. Facendo il denominatore comune (che è $x$) e portando tutto al primo membro, otteniamo che l'equazione è equivalente a $$ \frac{x+ 8a - x - 4a^2 - 4a \sqrt{x}}{x} = 0 \ \Leftrightarrow \ 8a - 4a^2 - 4a \sqrt{x} = 0$$Qui raccogliamo a fattor comune $4a$, e isoliamo la radice: $ 8a - 4a^2 - 4a \sqrt{x} = 0 $ $ \Rightarrow $ $ 2 - a - \sqrt{x} = 0$ $ \Rightarrow $ $ 2 - a = \sqrt{x}$. Ricadiamo ancora una volta nel caso precedente: imponiamo che ambo i membri siano $\geq 0 $ ed eleviamoli al quadrato per eliminare la radice: l'equazione è equivalente al sistema$$ \begin{cases} 2-a \geq 0 \\ x \geq 0 \\ (2-a)^2 = x \end{cases}$$La prima disequazione pone una nuova condizione: se è soddisfatta abbiamo la soluzione $x = (2-a)^2$, se non è soddisfatta il sistema è impossibile. Ora che abbiamo la soluzione, vediamo che soddisfa $tutte$ le condizioni di accettabilità è quelle di esistenza. Quindi deve verificare: $x \geq 0 \vee x \leq -8a $, $ x \geq 0 $ e $ x > 0 $. Le prime due sono soddisfatte sempre: infatti, per ogni $a > 0 $, $(2-a)^2 \geq 0$ (è un quadrato). La condizione di esistenza invece fallisce se quel quadrato è pari a $0$: si tratta di una disuguaglianza stretta. Ma $(2-a)^2 = 0$ se e solo se $2-a=0$, ossia $a = 2$. Ricapitolando, per $a> 0$, abbiamo il seguente specchietto:$$ \begin{cases} \text{Se } 0 < a < 2 & \Rightarrow \quad x = (2-a)^2 \\ \text{Se } a \geq 2 & \Rightarrow \quad \text{impossibile} \end{cases}$$Spero che tutti i passaggi siano chiari: con lo stesso impianto logico si risolve il caso $a < 0$; come consiglio, è sempre il caso di fare uno schema riassuntivo. Se hai ulteriori domande, chiedi pure! Ciao e buona serata :3