Definizione
Una equazione si dice irrazionale quando nell’equazione è presente almeno un radicale il cui radicando contiene l’incognita.
Per esempio le equazioni
##KATEX##\begin{aligned}\sqrt{x+5} & =2x+1 \\\sqrt[3]{2x^2-6} & =2+x \\\sqrt{x}+2 & =\sqrt{2}\end{aligned}##KATEX##
sono equazioni irrazionali poiché i loro radicandi contengono l’incognita. Infatti sotto radice si hanno rispettivamente i polinomi $x+5,2x^2-6$ e $x$.
Equazioni irrazionali con radicali quadratici
Consideriamo un'equazione irrazionale del tipo $$\mathbf{\sqrt{p(x)}=q(x)}$$Risolverla equivale a risolvere il seguente sistema: \[\begin{cases}p(x) \geq 0\\q(x) \geq 0\\p(x)=q^2(x)\end{cases}\]La condizione di esistenza del radicale quadratico impone la prima disequazione del sistema, $p(x) \geq 0$. Inoltre, quando il radicale quadratico esiste, è positivo o nullo, per cui si ottiene la seconda condizione, $q(x) \geq 0$. Infine, poiché entrambi i membri dell'equazione sono positivi, si può elevare al quadrato e si ottiene la terza ed ultima condizione: $p(x)=q^2(x)$.
Vediamo un esempio. Prendiamo l'equazione irrazionale $\sqrt{4-3x}=x$. Il sistema equivalente è \[\begin{cases}4-3x \geq 0\\x \geq 0\\4-3x=x^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x \leq \frac{4}{3}\\x \geq 0\\x^2+3x-4=0\end{cases}\]Dalle prime due disequazioni si ottiene che $0 \leq x \leq \frac{4}{3}$. Si risolve adesso l'equazione di secondo grado $x^2+3x-4=0$ e si ottengono le due soluzioni $-4$ e $1$. Poiché dalle prime due disequazioni abbiamo ottenuto che $x \in \left [ 0,\frac{4}{3} \right ] $, l'equazione irrazionale data ha come una unica soluzione $1$.
Le equazioni irrazionali possono anche essere del tipo $$\mathbf{\sqrt{p(x)}=\sqrt{q(x)}}$$Risolverla equivale a risolvere il sistema seguente: \[\begin{cases}p(x) \geq 0\\q(x) \geq 0\\p(x)=q(x)\end{cases}\]Le prime due disequazioni sono imposte dalla condizione di esistenza dei radicali quadratici, mentre la terza si ottiene elevando al quadrato l'equazione assegnata.
Ecco un esempio di questa tipologia. Prendiamo l’equazione irrazionale $\sqrt{x-4}=\sqrt{2x+1}$: si impone il sistema \[\begin{cases}x-4 \geq 0\\2x+1 \geq 0\\x-4=2x+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\geq 4\\x \geq -\frac{1}{2}\\x=-5\end{cases}\]Dalle prime due disequazioni si ha che $x \geq 4$ quindi la soluzione $x=-5$ non è accettabile. Pertanto l'equazione irrazionale assegnata non ha soluzione.
Un altro tipo di equazione irrazionale è: $$\mathbf{\sqrt{p(x)}+\sqrt{q(x)}=\sqrt{s(x)}}$$Tale equazione equivale al seguente sistema: \[\begin{cases}p(x) \geq 0\\q(x) \geq 0\\s(x) \geq 0\\p(x)+q(x)+2 \sqrt{p(x) \cdot q(x)}=s(x)\end{cases}\]Si risolva, per esempio, l’equazione irrazionale $\sqrt{x-3}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x}$. Si impone il seguente sistema \[\begin{cases}x-3 \geq 0\\x-1 \geq 0\\2x \geq 0\\x-3+x-1+2 \sqrt{(x-3)(x-1)}=2x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x \geq 3\\x \geq 1\\x \geq 0\\2x-4+2 \sqrt{x^2-4x+3}=2x\end{cases}\]Dalle prime tre disequazioni si ottiene $x \geq 3$ mentre l'equazione diventa $\sqrt{x^2-4x+3}=2$. Possiamo elevare entrambi i membri al quadrato, dato che da entrambi i lati abbiamo quantità positive: si ottiene quindi $x^2-4x+3=4$ da cui $x^2-4x-1=0$. Le radici di quest'equazione di secondo grado sono: $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{5}$. Dato che $x_1 = 2 + \sqrt{5} \geq 3$ e che invece $x_2 < 3$, l'equazione irrazionale data ha un'unica soluzione:$x=2+\sqrt{5}$.
Un ultimo tipo di equazioni irrazionali sono quelle che hanno un radicale al denominatore, come quelle della tipologia $$\mathbf{\sqrt{p(x)}=\frac{a}{\sqrt{q(x)}}}$$In tale caso dobbiamo risolvere il sistema seguente: \[\begin{cases}p(x) \geq 0\\q(x) \geq 0\\p(x)= \frac{a^2}{q(x)}\end{cases}\]Facciamo un esempio. Data l'equazione irrazionale $\sqrt{x-1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$, il sistema equivalente è \[\begin{cases}x-1 \geq 0\\x \geq 0\\x-1= \frac{2}{x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x \geq 1\\x \geq 0\\x^2-x-2= 0\end{cases}\]da cui si ottiene \[\begin{cases}x \geq 1\\x=2 \vee x=-1\end{cases}\]Pertanto l'equazione irrazionale assegnata ha un'unica soluzione $2$.
Equazioni irrazionali con radicali cubici
Le equazioni con radicali cubici sono in generale molto più semplici da gestire, dato che non ci sono condizioni di esistenza da porre per il radicale visto che l’indice della radice è dispari.
Prendiamo dunque un’equazione del tipo $\sqrt[3]{p(x)}=q(x)$: possiamo elevare direttamente al cubo, ritrovandoci a dover risolvere direttamente l’equazione $p(x)=q^3(x)$.
Facciamo un esempio: consideriamo l’equazione $$\sqrt[3]{x^3-6x^2}=x-2$$ Questa si risolve semplicemente elevando al cubo entrambi i membri: pertanto si ottiene $x^3-6x^2=(x-2)^3$ che equivale a $x^3-6x^2=x^3-8-6x^2+12x$. Dopo alcuni semplici conti, si nota che la soluzione dell’equazione assegnata è dunque $x=\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Se nell'equazione, oltre che l'incognita $x$, sono presenti altre lettere, esse devono venire considerate dei parametri: si parla allora di equazioni irrazionali parametriche, che hanno, in generale, una risoluzione leggermente più complicata.