equazioni goniometriche

Ciao Melania. L'equazione goniometrica che ci proponi è, se ho capito bene il testo, la seguente: $$\frac{1}{\cos x} - 4\sin^2x=0$$Per prima cosa bisogna porre $\cos x \neq 0$, altrimenti l'equazione è priva di significato; questo equivale a porre $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$. Dopodiché possiamo applicare l'identità fondamentale della trigonometria (qui un po' di formule trigonometriche: https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html) e ottenere: ##KATEX##\begin{aligned} \frac{1}{\cos x} - 4(1-\cos^2x) & =0 \\ \frac{1-4\cos x + 4\cos^3x}{\cos x} & =0 \end{aligned}##KATEX##A questo punto possiamo anche dimenticarci del denominatore (finché valgono le condizioni di esistenza questo sarà sempre un numero diverso da zero, e possiamo eliminarlo) e lavorare sul numeratore: $$4\cos^3x - 4\cos x + 1 = 0$$Se effettuiamo la sostituzione $\cos x = t$, il termine a sinistra dell'uguale diventa una cubica, cioè un polinomio di terzo grado: $$4t^3 - 4t+1 = 0$$Adesso però arrivano le brutte notizie: non è possibile trovare le soluzioni esatte di questa equazione, perlomeno con i metodi che si studiano al liceo. Infatti, il massimo che possiamo fare è studiare la funzione $f(x) = 4x^3 - 4x + 1$ (per una lezione sullo studio di funzione guarda qui: https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html) e capire qualitativamente quante e quali sono le intersezioni del suo grafico con l’asse $x$. Così facendo, si può mostrare che le soluzioni dell’equazione cubica sono tre e che solo due di queste - che chiamiamo $t_1$ e $t_2$ - hanno valore compreso tra $-1$ e $1$. Da queste quindi troveremo quattro “famiglie” di soluzioni fatte così: ##KATEX##\begin{aligned} x & = \arccos(t_1) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \\ x & = - \arccos(t_1) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \\ x & = \arccos(t_2) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \\ x & = -\arccos(t_2) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \end{aligned}##KATEX##Se vuoi sapere il valore esatto di $t_1$ e $t_2$, e quindi a “cascata” il valore esatto delle soluzioni per $x$, bisogna invece applicare il (laboriosissimo) procedimento per ottenere le soluzioni di un’equazione di terzo grado, ma ti assicuro che non è il massimo del divertimento... :D Spero davvero, a questo punto, che il testo del problema sia sbagliato: fammi sapere!

Ciao Michele, grazie per la tempestiva risposta. Sono una docente, il testo non è errato e nemmeno i tuoi calcoli;volevo solo conferma del laborioso lavoro di calcolo che si deve svolgere.... :-)