Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla sua espressione analitica $y=f(x)$.
Si consiglia di procedere nell’ordine indicato, ma comunque di annotare sul grafico le informazioni salienti di pari passo, come mostrato nelle illustrazioni.
1) Dominio
Per studiare una funzione dobbiamo innanzitutto vedere quale è il suo campo di esistenza o dominio. Per esempio:
- Se $y=f(x)$ contiene un'espressione frazionaria allora dobbiamo escludere i punti in cui il denominatore si annulla
- Se $y=f(x)$ contiene una radice ad indice pari, dobbiamo porre la condizione che il radicando sia non negativo
- Se $y=f(x)$ contiene un logaritmo, il suo argomento deve essere maggiore di zero
- Se $y=f(x)$ contiene una funzione esponenziale del tipo $g(x)^{h(x)}$ allora dobbiamo porre $g(x) > 0$ (e controllare il campo di esistenza di $h(x)$)
- Se $y=f(x)$ contiene espressioni del tipo $\tan ( g(x) )$, che coinvolgono la funzione tangente, dobbiamo escludere i punti in cui $g(x)=\frac{\pi}{2} + k \pi$
- Se $y=f(x)$ contiene espressioni del tipo $\arcsin (g(x)), \quad \arccos (g(x))$ che coinvolgono le funzione arcoseno o arcocoseno deve essere $-1 \leq g(x) \leq 1$
Una volta determinato il dominio possiamo escludere le regioni di piano che ne sono escluse come è stato fatto nell'esempio seguente:
2) Studio del segno
Dopo aver trovato l'insieme di definizione di $f(x)$, possiamo studiarne il segno, cioè vedere in quali zone del dominio la funzione è positiva o negativa e quindi determinare in quali intervalli il suo grafico è sopra o sotto l'asse delle $x$. Se la funzione è continua e passa da una regione in cui è positiva a una in cui è negativa, necessariamente sarà zero nel punto in cui le due regioni si incontrano.
Per farlo risolviamo la disequazione $f(x) > 0$, la cui soluzione indicherà gli intervalli in cui la funzione è positiva; il suo complementare (sempre all’interno dominio) indicherà viceversa gli intervalli in cui la funzione è negativa.
Lo studio del segno è utile per delimitare la parte di piano in cui disegnare il grafico e i punti in cui la curva interseca l'asse delle ascisse.
Sapendo dove la nostra funzione $f(x)$ è positiva e dove è negativa possiamo aggiungere l’informazione cancellando le regioni nelle quali la funzione non esiste.
3) Calcolo dei limiti agli estremi del dominio e ricerca degli asintoti
Studiamo ora il comportamento della funzione agli estremi del dominio e indaghiamo l’esistenza di eventuali asintoti.
- Se il dominio è illimitato inferiormente o superiormente si dovranno calcolare i limiti per $x \to \pm \infty$ e controllare se ci sono asintoti orizzonali o obliqui.
- Se il dominio è formato da uno o più intervalli aperti limitati dobbiamo calcolare i limiti in tutti gli estremi degli intervalli di definizione, sia da destra sia da sinistra e controllare se ci sono asinoti verticali.
In un grafico di funzione possono esserci al massimo due asintoti orizzontali o obliqui e un numero qualunque (anche infinito) di asintoti verticali.
Gli asintoti verticali però possono esistere solo in corrispondenza dei punti in cui la funzione non è definita. Se il dominio è l'intero insieme dei numeri reali, non ci sono asintoti verticali.
Continuando con il nostro esempio, aggiungiamo le indicazioni sulla presenza di asintoti:
4) Segno della derivata prima – monotonia
Dopo aver trovato dominio, segno e asintoti della funzione, possiamo calcolarne la derivata prima (nei punti del dominio in cui $f$ è derivabile). Grazie allo studio del segno della derivata prima possiamo stabilire la monotonia di $f$. Infatti:
- Negli intervalli in cui $f'(x) > 0$, $f$ è crescente
- Negli intervalli in cui $f'(x) < 0$, $f$ è decrescente
- Se $f'(x)=0$ abbiamo un punto stazionario
Se ci sono punti in cui $f$ non è derivabile, possiamo calcolare i limiti di $f'$ al tendere da destra o da sinistra ai punti di non derivabilità e verificare se ci sono flessi a tangente verticale, cuspidi o punti angolosi.
5) Ricerca di massimi e minimi
Dopo il calcolo della derivata cerchiamo massimi e minimi relativi.
- Nei punti interni agli intervalli in cui $f$ è derivabile i punti estremanti vanno cercati tra i punti stazionari (grazie al teorema di Fermat sui punti stazionari), controllando se il segno della derivata cambia prima e dopo il punto
- Se il dominio è formato da intervalli chiusi e limitati bisogna controllare il valore assunto dalla funzione agli estremi degli intervalli
- Se ci sono punti in cui la funzione non è derivabile, anche questi devono essere controllati nella ricerca di massimi e minimi relativi
Una volta trovati tutti i massimi e minimi relativi possiamo stabilire se esistono estremi assoluti guardando il valore della funzione in tutti i punti estremanti e controllando che la funzione non abbia asintoti verticali né tenda a infinito per $x \to \pm \infty$.
Segno della derivata seconda - convessità
Come ultimo passaggio possiamo studiare la convessità e la concavità di $f(x)$ calcolando il segno della derivata seconda, nei punti in cui questa è definita. Abbiamo che:
- Negli intervalli in cui $f''(x) > 0$, $f$ è convessa, ossia sta sopra la retta tangente
- Negli intervalli in cui $f''(x) < 0$, $f$ è concava, ossia sta sotto la retta tangente
- Se $f''(x)=0$ il punto può essere un flesso. Per stabilirlo si deve verificare se la derivata seconda cambia segno nell'intorno del punto, ovvero se cambia la convessità della funzione.
A questo punto, mettendo insieme tutte le informazioni raccolte si può disegnare il grafico della funzione.
