Consideriamo alcune situazioni in cui una funzione $y=f(x)$ è definita ma non è derivabile in un punto $x_0$. Questo significa che non esiste, o è infinito, il limite del rapporto incrementale per $x$ tendente a $x_0$.
Questo può accadere per diversi motivi:
- La derivata destra e sinistra in $x_0$ sono entrambe o $+\infty$ o $-\infty$
- La derivata destra e sinistra in $x_0$ sono infinito, ma sono discordi.
- La derivata destra e sinistra in $x_0$ esistono, almeno una è finita, ma diversi.
- Il limite non esiste per altri motivi.
Ricordiamo che da un punto di vista geometrico, la derivata prima di una funzione in un punto $x_0$ è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva data dal grafico della funzione nel punto $x_0$.
CASO I
La derivata destra e sinistra esistono, sono entrambe infinito e sono concordi, entrambe $+\infty$ o $-\infty$. In tal caso si parla di flesso a tangente verticale. Se la derivata in $x_0$ vale $+\infty$ (o $-\infty$ in maniera analoga) la retta tangente alla curva nel punto $x_0$ è una retta verticale essendo il suo coefficiente angolare “infinito” ed è parallela all'asse delle $y$.
Quindi quando risulta
$$f'(x_0)^+=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=+\infty$$
e
$$f'(x_0)^-=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=+\infty$$
il punto $(x_0,f(x_0))$ è un punto in cui la tangente al grafico di $f$ è verticale. La tangente sarà proprio la retta $x=x_0$.
Anche quando sia $f'(x_0)^+$ che $f'(x_0)^-$ valgono $-\infty$, il punto $(x_0,f(x_0))$ è un flesso a tangente verticale, come vediamo nella figura.
È importante che la derivata abbia lo stesso segno, cioè che entrambi i limiti, destro e sinistro, facciano o $+\infty$ o $-\infty$.
CASO II
Le derivate destra e sinistra esistono, sono entrambe infinito ma sono discordi. In questo caso il punto si definisce una cuspide.
Con riferimento all’immagine seguente, avviciniamoci a $x_0$ da sinistra: la retta tangente ha coefficiente angolare positivo che tende a crescere per $x \to {x_0}^-$, sino a quando la retta diventa verticale, e quindi possiamo dire che $f'(x_0)^-=+\infty$; da destra succede il contrario, $f'(x_0)^-=-\infty$:
Nel grafico seguente seguente invece $f'(x_0)^-=-\infty$ e $f'(x_0)^+=+\infty$:
CASO III
La derivata destra e sinistra esistono, almeno una è finita, ma sono comunque diverse. Il punto prende il nome di punto angoloso.
Il nome è dovuto al fatto che in questo caso si possono considerare le due rette che si otterrebbero dal limite destro o sinistro, le quali individuano un angolo.
La situazione è esemplificata dalla figura seguente:
Anche se una delle due derivate è infinita si parla di punto angoloso:
Oltre ai casi appena elencati di punti di non derivabilità ci sono delle funzioni per cui in alcuni punti non possiamo dire nulla sul comportamento della derivata. Proviamo a vederne un esempio.
Consideriamo la funzione
$$f(x)=\begin{cases} x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & \mbox{per } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{per } x = 0 \end{cases} $$ che ha un grafico di questo tipo:
Vediamo che all'avvicinarsi a $0$ sia da destra che da sinistra il comportamento della funzione non è riconoscibile. Tuttavia, la funzione così definita è continua, infatti
$$\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0).$$
Vediamo ora la derivata: usando il rapporto incrementale,
$$\lim_{h \to 0}\ \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to 0}\ \frac{h\sin\left(\frac{1}{h}\right)-0}{h}=\lim_{h \to 0}\sin\left(\frac{1}{h}\right)$$
ma dato che $h \to 0$ stiamo cercando di calcolare il seno di un valore che tende all'infinito. Ma seno è una funzione periodica e quindi continuerà a cambiare: il limite considerato non esiste, quindi la funzione $x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$, sebbene definita e continua in $0$, non è derivabile.