Trovare la derivata di una certa funzione $f$ in un punto $x_0$ significa sapere qualcosa di più sulla funzione. Ma cosa esattamente? La derivata di $f$ in $x_0$, che di solito si indica con $f'(x_0)$, è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione $f$ nel punto $P \equiv (x_0; f(x_0))$. Nel nostro disegno la retta tangente è la retta rossa e quello che vogliamo determinare è quindi il suo coefficiente angolare.
Per riuscire nel nostro obiettivo proseguiamo per approssiamzioni successive. Dobbiamo prendere un altro punto sull'asse delle $x$, il punto $x_0+h$. Calcoliamo quanto vale $f$ in questo punto, $f(x_0+h)$, e chiamiamo il punto trovato $Q \equiv (x_0+h; f(x_0+h))$. Uniamo dunque i due punti con una retta, indicata in figura col colore nero: la retta quindi passerà per $P \equiv (x_0,f(x_0))$ e $Q\equiv(x_0+h,f(x_0+h))$. Nel nostro disegno il punto $Q$ si trova a destra di $x_0$ ma basta prendere $h < 0$ per trovarlo a sinistra.
Qual è il coefficiente angolare della retta nera? Per trovarlo basta fare il rapporto $$ \frac{\overline{QR}}{\overline{RP}} $$ Ma $\overline{QR}$ è un segmento verticale (nel disegno in azzurro) e per trovarne la lunghezza facciamo la differenza delle due ordinate $|f(x_0+h) - f(x_0)|$. Invece $\overline{RP}$ è orizzontale quindi per trovarlo basta calcolare $|x_0+h-x_0| = |h|$ (nel disegno il segmento è rappresentato in verde).
Il coefficiente angolare della retta passante per $P$ e $Q$ diventa:
$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$
Possiamo indicare $f(x_0+h)-f(x_0)$ con $\Delta f$ e chiamarlo incremento della funzione, mentre indichiamo $x_0+h-x_0=h$ con $\Delta x$ e lo chiamiamo incremento della variabile. Il coefficiente angolare della retta in nero dunque può essere espresso come $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} $$
che è il rapporto dei due incrementi, e dunque viene chiamato rapporto incrementale.
Ma cosa succede se l’incremento $h$ diventa più piccolo, e quindi se $x_0$ e $x_0+h$ si avvicinano? Usando la terminologia dei limiti, quando $h \to 0$ allora $Q \to P$. La retta nera un po' alla volta tenderà a sovrapporsi alla retta rossa. Infatti se i due punti $P$ e $Q$ diventano lo stesso punto, la retta nera non sarà più distinguibile da quella rossa. Quindi il coefficiente angolare della tangente alla funzione $f$ nel punto $x_0$ può essere trovato facendo il limite del rapporto incrementale $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}.$$
Riassumendo: la derivata di $f$ in $x_0$ è il limite del rapporto incrementale: $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$