Ci sono funzioni che pur essendo continue nel loro dominio, non sono derivabili in tutti i punti dello stesso.
Richiedere infatti che una funzione $f$ sia continua in un intervallo $I$ non è sufficiente per dire che essa sia anche derivabile in ogni punto $x_0\in I$: perché la funzione sia derivabile in $x_0$ deve esistere il limite del rapporto incrementale
$$ \lim_{x \to x_0} \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
Ricordiamo che, perché il limite esista, deve essere unico: limite destro e sinistro devono dunque essere uguali.
Ma cosa significa calcolare il limite destro? Significa vedere come si comporta la funzione (o la sua derivata) per valori che si avvicinano a $x_0$ da destra, cioè per valori più grandi di $x_0$. Mentre calcolare il limite sinistro significa calcolare il valore della derivata per valori più piccoli di $x_0$
Calcolare la derivata destra è allora equivalente a calcolare il limite del rapporto incrementale per $h \to 0^+$:
$$\lim_{x \to {x_0}^+}f'(x)=\lim_{h \to {0}^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$
Mentre per la derivata sinistra abbiamo il limite per $h \to 0^-$
$$\lim_{x \to {x_0}^-}f'(x)=\lim_{h \to {0}^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$
Affinché una funzione sia derivabile in un punto allora deve valere la condizione
$$ \lim_{x \to {x_0}^+}f'(x) = \lim_{x \to {x_0}^-}f'(x)$$
Se derivata destra e sinistra non coincidono in un punto $x_0$, i limiti destro e sinistro non coincidono, e qundie il limite del rapporto incrementale non esiste: la funzione non è derivabile in $x_0$.
Consideriamo l'esempio della funzione valore assoluto $f(x)=|x|$. Per definizione $$y= \begin{cases} x & \mbox{se } x\geq0 \\ -x & \mbox{se } x \leq 0 \end{cases}$$
$f$ è continua e definita su tutto $\mathbb{R}$, come vediamo dal grafico rappresentato nella seguente figura:
Ma quanto vale $f'(x)$? $f'(x)=1$ per $x > 0$ mentre $f'(x)=-1$ per $x < 0$, mentre in zero il limite del rapporto incrementale destro è diverso dal rapprorto incrementale sinistro: derivata destra e sinistra in zero non coincidono, $$\lim_{x \to {0}^+}f'(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x \to {0}^-}f'(x).$$
Come si vede dalla figura $0$ è un punto in cui la derivata non è definita. La funzione valore assoluto di $x$ non è perciò derivabile nel punto $0$. Il punto $0$ è un punto di non derivabilità e prende il nome di punto angoloso.
Per questo motivo è importante studiare il dominio della funzione $f$ ma anche della sua derivata $f'$: i punti in cui i due domini non coincidono vanno poi considerati singolarmente perché possono essere punti da studiare per completare l'analisi della funzione.