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Punti estremanti di una funzione: massimo e minimo, assoluto e relativo

Un punto di massimo relativo è un punto $c$ tale per cui esista un suo intorno $I$ sul quale valga la disequazione $f(c) \geq f(x)$ $\forall x \in I$; viceversa un punto di minimo relativo è tale per cui $f(c) \leq f(x)$ $\forall x \in I$. Se la disequazione vale per tutto il dominio di $f$, si parla di massimo o minimo assoluti. I massimi e minimi relativi si chiamano complessivamente punti estremanti.

 

Se la funzione è continua in un intorno di $c$, a sinistra di un punto di massimo relativo essa sarà crescente, mentre alla sua destra sarà decrescente; al contrario, per un minimo relativo il comportamento della funzione sarà decrescente prima del punto e crescente dopo.

 

Se $f$ è derivabile in un intorno di un punto possiamo sfruttare la relazione che c'è fra la monotonia della funzione e il segno della derivata. Se la derivata è continua, in un punto di massimo o minimo relativo la derivata prima è nulla: il punto è stazionario. Questo risultato è giustificato dal teorema di Fermat sui punti stazionari.


Questa proprietà è molto utile e ci permette di fare velocemente la ricerca dei punti estremanti, ma la condizione è solo necessaria, e non sufficiente: è per cui necessario saper riconoscere quali punti sono estremanti e quali solo stazionari.