Se studiamo una funzione, solitamente ci interessa anche trovare i punti di massimo e minimo locali (ed eventualmente globali) del suo grafico. Ricordiamo che, per esempio, un massimo locale è un punto del grafico che ha un’ordinata che non può essere superata da nessuna ordinata dei punti vicini a esso. Questa definizione, seppure sia abbastanza rigorosa, non è molto pratica: difficilmente si può pensare di controllare le ordinate di tutti i punti del grafico vicini a un “candidato” a massimo, anche perché i punti nelle vicinanze sono infiniti!
Fortunatamente c’è un sistema molto più semplice, che è quello che - di solito - viene adottato per cercare punti di questo tipo. Come vedremo, però questo metodo non è così efficiente come vorremmo.
Teorema (di Fermat sui punti stazionari): Prendiamo una funzione $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con dominio $D$. Consideriamo un punto $x_0 \in D$ che soddisfi le seguenti ipotesi:
- $x_0$ è un punto di massimo o di minimo;
- la funzione $f$ è derivabile in $x_0$.
Allora vale sicuramente $f’(x_0)=0$.
Dimostrazione. Possiamo suppore che $x_0$ sia un punto di massimo; la dimostrazione può essere ripetuta senza troppe modifiche anche nel caso in cui $x_0$ sia un punto di minimo.
Dato che $x_0$ è un punto di massimo, questo significa in particolare che $f(x_0 + h ) \leq f(x_0)$ per un $h$ sufficientemente piccolo (in modo da restare “abbastanza vicini” a $x_0$) o in altre parole $$f(x_0 + h ) -f(x_0) \leq 0$$
- Se $h$ è positivo, il punto $x_0 + h$ è spostato “verso destra” rispetto a $x_0$. Possiamo anche dividere per $h$, ottenendo questa relazione$$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \leq 0$$Il verso della disequazione è invariato, dato che stiamo dividendo per qualcosa di positivo. Possiamo passare al limite da entrambe le parti: $$\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \leq 0$$o anche, ricordando la definizione di derivata destra, $$f’_+(x_0) \leq 0$$
- Se $h$ è negativo, il punto $x_0 + h$ è spostato “verso sinistra” rispetto a $x_0$. Dividendo per $h$, otteniamo questa relazione: $$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \geq 0$$Il verso della disequazione è cambiato, dato che stiamo dividendo per una quantità negativa. Passando al limite da entrambe le parti, si ha: $$\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \geq 0$$che, utilizzando la definizione di derivata sinistra, diventa: $$f’_-(x_0) \geq 0$$
A questo punto bisogna ricordarsi che $f$ è derivabile in $x_0$: questo vuol dire che $f’(x_0)$ esiste, ed è uguale a derivata sinistra e a derivata destra in $x_0$. In particolare, otteniamo che derivata sinistra e destra devono essere uguali; dato che la prima è non positiva e la seconda è non positiva, l’unica possibilità è che sia $$f’_+(x_0) = f’_-(x_0) = 0$$e dunque necessariamente che $$f’(x_0)=0$$
Cosa ci dice questo teorema? Riassumendo, il messaggio è che se un punto $x_0$ è estremante per una funzione $f$ e la derivata della funzione è definita in tale punto, allora la derivata vale $0$, se calcolata in $x_0$. In altre parole: l’annullarsi della derivata in punto $x_0$ è condizione necessaria per fare sì che $x_0$ sia un punto di massimo o di minimo. Questo significa quindi che se $f’(x)$ è definita in $x_0$, ma $f’(x_0) \neq 0$, allora $x_0$ non è estremante, ma:
- se $f’(x)$ non è definita in $x_0$, non possiamo dire nulla: $x_0$ potrebbe essere punto di massimo, di minimo, o nessuno dei due.
- non è detto che la derivata calcolata in un punto che non è estremante debba per forza essere diversa da zero: è questo infatti il caso dei flessi a tangente orizzontale.
Tornando al problema esposto all’inizio della lezione, quindi, possiamo dire che se vogliamo cercare punti estremanti per il grafico di una funzione possiamo cercarli all’interno dei punti che ne annullano la derivata; tuttavia, non possiamo essere certi che tutti i punti che la annullano siano davvero estremanti, né che non esistano eventuali altri punti estremanti oltre a quelli trovati in questo modo.
Un esempio “patologico”
Per far capire ancora meglio che il teorema di Fermat è solamente uno strumento utile per trovare massimi e minimi, ma che non possiamo aspettarci che ci dica quali sono tutti gli estremanti di un grafico, consideriamo la seguente funzione: $$f(x) = \frac{1}{8} \left | 3x^5 -5x^3+56 \right |$$Ricordandoci la definizione di valore assoluto, possiamo riscriverla così: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{8} \left ( 3x^5 -5x^3+56 \right ) & \text{se } 3x^5 -5x^3+56 \geq 0 \\ -\frac{1}{8} \left ( 3x^5 -5x^3+56 \right ) & \text{se } 3x^5 -5x^3+56 < 0 \end{cases}$$È possibile verificare che la disequazione $3x^5 -5x^3+56 \geq 0$ è equivalente a questa: $x \geq -2$. Quindi la nostra funzione diventa: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{8} \left ( 3x^5 -5x^3+56 \right ) & \text{se } x \geq -2 \\ -\frac{1}{8} \left ( 3x^5 -5x^3+56 \right ) & \text{se } x < -2 \end{cases}$$Un uso errato ma piuttosto comune del teorema di Fermat è il seguente: trovare i punti in cui la derivata si annulla e affermare che questi punti sono tutti i punti estremanti per $f$. Proviamo a vedere cosa succede se commettiamo questa leggerezza.
Studiamo la derivata del ramo della funzione a destra di $-2$: $$f’(x) = \frac{1}{8} \left ( 15x^4 - 15x^2 \right ) \qquad x > -2$$A sinistra di $-2$, invece, abbiamo: $$f’(x) = -\frac{1}{8} \left ( 15x^4 - 15x^2 \right ) \qquad x < -2$$In ogni caso - dato che le due derivate sono diverse solo per un segno - trovare gli zeri di queste due espressioni si riconduce a risolvere questa equazione: $$\frac{1}{8} \left ( 15x^4 - 15x^2 \right ) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{15}{8} (x^4 - x^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2(x^2-1) = 0 $$Le soluzioni di questa equazione sono $x=0,\ x=-1, \ x=1$: sbagliando, potremmo affermare che questi sono tutti e soli i punti di massimo e di minimo della nostra funzione.
Ecco il vero grafico di $f(x)$:
Nonostante $x=-1$ e $x=1$ siano rispettivamente punto di massimo e punto di minimo locali per $f$, ci si accorge subito che stavamo commettendo due grossi errori.
- In $x=0$, nonostante la derivata si annulli, la funzione non ha né un massimo né un minimo, ma un punto di flesso. Qua il teorema di Fermat non funziona perché $x=0$ non è un punto estremante (cade cioè la prima ipotesi).
- In $x=-2$ la funzione si annulla, e - siccome $f(x)$ è sempre non negativa - questo punto rappresenta un minimo (addirittura assoluto). Il teorema di Fermat non si è “accorto” dell’esistenza di questo minimo perché lì la derivata non è definita, visto che derivata sinistra e destra non coincidono (cade cioè la seconda ipotesi): ##KATEX##\begin{aligned} f_-'(2) & = - \frac{15}{8} (16 - 8) = -15 \\ f’_+(2) & = \frac{15}{8} (16 - 8) = 15 \end{aligned}##KATEX##