Nel linguaggio della Matematica - specialmente nell’enunciare teoremi, proposizioni e anche alcune definizioni - si utilizzano frequentemente le espressioni condizione necessaria, condizione sufficiente e condizione necessaria e sufficiente. Queste terminologie hanno un significato molto importante che può essere definito rigorosamente nell’ambito della Logica Matematica, che vale la pena di approfondire.
Condizione necessaria
Prendiamo due proposizioni (o, più semplicemente, due affermazioni o anche due proprietà) e chiamiamole $A$ e $B$. Diciamo che $A$ è condizione necessaria per $B$ e scriviamo $B \Rightarrow A$ (o anche $A \Leftarrow B$) quando il verificarsi di $B$ implica automaticamente il verificarsi di $A$. Analogamente, quando $A$ è condizione necessaria per $B$ siamo certi che se $A$ non è verificata, allora neanche $B$ lo sarà. Quest’ultima formulazione si avvicina di più al significato di “necessario” in italiano: è indispensabile che si verifichi $A$ affinchè si possa verificare anche $B$, anche se - attenzione - non è detto che il verificarsi di $A$ implichi il verificarsi di $B$.
Facciamo un esempio per chiarirci le idee. Scriviamo##KATEX##\begin{aligned} X: & \text{ Sono in montagna} \\ Y: & \text{ Sto sciando} \end{aligned}##KATEX##In questo caso $X$ è condizione necessaria per $Y$. Infatti se sto sciando devo trovarmi necessariamente in montagna; analogamente, se non mi trovo in montagna sicuramente non posso sciare. Notiamo però che se mi trovo in montagna non è assolutamente detto che io stia sciando: cioè, se $X$ è verificata non possiamo dire se anche $Y$ lo è.
Condizione sufficiente
Consideriamo ancora due proposizioni $A$ e $B$. Diciamo che $A$ è condizione sufficiente per $B$ e scriviamo $A \Rightarrow B$ (o anche $B \Leftarrow A$) quando il verificarsi di $A$ è sufficiente per affermare che si verificherà anche $B$. Equivalentemente, quando $A$ è condizione sufficiente per $B$ possiamo dire che se $B$ non è verificata allora certamente non è verificata nemmeno $A$.
Ecco un esempio: diciamo##KATEX##\begin{aligned} X: & \text{ Q è un quadrato} \\ Y: & \text{ Q è un quadrilatero} \end{aligned}##KATEX##Dato che ogni quadrato è un quadrilatero, è evidente che $X$ è sufficiente per $Y$.
Come si può notare dalle definizioni, condizione necessaria e condizione sufficiente sembrano una lo specchio dell’altra. Infatti se $A$ è condizione sufficiente per $B$, allora $B$ è condizione necessaria per $A$. Questo si può notare banalmente anche dalla notazione utilizzata: se vale $A \Rightarrow B$ allora chiaramente $B \Leftarrow A$.
È comunque importante sottolineare che $A \Rightarrow B$ non implica in alcun modo $B \Rightarrow A$: cioè, una condizione sufficiente non è, in generale, necessaria (e viceversa). Questo è quello che è emerso dall’esempio fatto in conclusione al paragrafo di spiegazione sulla condizione necessaria, dove abbiamo visto che essere in montagna è condizione necessaria per sciare, ma non sufficiente.
Condizione necessaria e sufficiente
Consideriamo due proposizioni $A$ e $B$ che soddisfano le seguenti condizioni:
- $A \Rightarrow B$, cioè $A$ è condizione sufficiente per $B$ (o $B$ è condizione necessaria per $A$);
- $A \Leftarrow B$, cioè $A$ è condizione necessaria per $B$ (o $B$ è condizione sufficiente per $A$).
In questo caso diremo che $A$ è condizione necessaria e sufficiente per $B$, e scriviamo $A \Leftrightarrow B$. Spesso si dice anche: $A$ vale se e solo se vale anche $B$, o più brevemente $A$ se e solo se $B$.
Quando due affermazioni sono una condizione necessaria e sufficiente dell’altra, significa che esse sono equivalenti dal punto di vista logico. Facciamo alcuni esempi nell’ambito della Matematica:
- due triangoli sono congruenti se e solo se vale un qualsiasi criterio di congruenza dei triangoli;
- due rette sono parallele se e solo se due angoli alterni sono congruenti, come spiegato dal criterio del parallelismo;
- una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.