La matrice inversa: definizione, calcolo e proprietà

Definizione

Sia $A \in M_n(\mathbb{R})$. Chiamiamo matrice inversa di $A$ una matrice (generalmente indicata con $A^{-1}$) per cui vale la relazione \[A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=I_n\]dove $I_n$ è la matrice identità di ordine $n$.

La definizione appena data potrebbe far pensare che per qualsiasi matrice quadrata si possa sempre trovare la sua inversa. Questo non è affatto vero! Infatti vale il seguente teorema (che non dimostriamo).

Teorema (esistenza della matrice inversa). Sia $A \in M_n(\mathbb{R})$. $A$ è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da $0$.

Ad esempio la matrice $$A=\begin{bmatrix}2&-2\\-1&1\end{bmatrix}$$ha determinante $\text{det}A=2 \cdot 1-(-1)\cdot (-2)=2-2=0$. Quindi, per il teorema appena enunciato, $A$ non è invertibile.
Invece, la matrice $$ B=\begin{bmatrix}2&1\\-1&1\end{bmatrix} $$ha determinante $\text{det}B=2 \cdot 1-(-1)\cdot(1)=2+1=3$; pertanto $B$ ammette matrice inversa.
Grazie a questo teorema abbiamo dunque una condizione necessaria e sufficiente per capire se una matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ è invertibile: a questo punto rimane da capire come calcolare la matrice inversa $A^{-1}$. Ecco il procedimento da seguire:

1. Si costruisce la matrice dei complementi algebrici di $A$, cioè la matrice che ha per elemento di posto $(i,j)$ il complemento algebrico $A_{ij}$ ricavato a partire da $A$.
2. Si scrive la matrice aggiunta $A^{*}$ di $A$, che per definizione è la trasposta della matrice dei complementi algebrici individuati al punto1.
3. Si moltiplica la matrice aggiunta $A^{*}$ per l'inverso del valore del determinante di $A$ (o equivalentemente, si divide per il valore del determinante di $A$).

La matrice ottenuta alla fine del passo 3 è proprio la matrice inversa $A^{-1}$. In formule, possiamo riassumere il procedimento appena descritto: \[A^{-1}= \frac{1}{\text{det}A}A^{*}\]

Facciamo un esempio per chiarire meglio il tutto. Consideriamo la matrice \[A=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}\] Il determinante vale $\text{det}A=3$, pertanto $A$ è invertibile. Calcoliamo quindi la sua inversa.

1. Ecco tutti i complementi algebrici di $A$:  ##KATEX##\begin{aligned}A_{11} & = \text{det}\begin{bmatrix} 2&1\\1&1\end{bmatrix}##KATEX##=1 & A_{12} & = -\text{det}##KATEX##\begin{bmatrix} 0&1\\1&1\end{bmatrix}##KATEX##=1 & A_{13} & = \text{det}##KATEX##\begin{bmatrix} 0&2\\1&1\end{bmatrix}##KATEX##=-2 \\
   A_{21} & = -\text{det}##KATEX##\begin{bmatrix} 1&0\\1&1\end{bmatrix}##KATEX##=-1 & A_{22} & = \text{det}##KATEX##\begin{bmatrix} 2&0\\1&1\end{bmatrix}##KATEX##=2 & A_{23} & = -\text{det}##KATEX##\begin{bmatrix} 2&1\\1&1\end{bmatrix}##KATEX##=-1 \\
   A_{31} & = \text{det}##KATEX##\begin{bmatrix} 1&0\\2&1\end{bmatrix}##KATEX##=1 & A_{32} & = -\text{det}##KATEX##\begin{bmatrix} 2&0\\0&1\end{bmatrix}##KATEX##=-2 & A_{33} & = \text{det}##KATEX##\begin{bmatrix} 2&1\\0&2\end{bmatrix}##KATEX##=4.
   \end{aligned}
2. Costruiamo la matrice aggiunta $A^{*}$ di $A$ cioè la trasposta della matrice dei complementi algebrici individuati al passo 1: \[A^{*}=\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&2&-2\\-2&-1&4\end{bmatrix}.\]
3. Calcoliamo la matrice inversa moltiplicando $A^{*}$ per l’inverso del determinante: \[A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&2&-2\\-2&-1&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\end{bmatrix}\]

Si verifica facilmente che $AA^{-1} = A^{-1}A = I_n$, e quindi questa matrice è proprio l’inversa che stavamo cercando.

Caso particolare: le matrici $A \in M_2(\mathbb{R})$

Per quanto riguarda le matrici di ordine $2$ c'è un "trucco" che velocizza il calcolo della loro inversa. Infatti dopo aver stabilito che $A$ è invertibile, si può calcolare la sua inversa $A^{-1}$ seguendo il seguente procedimento.

1. si scambiano di posto gli elementi sulla diagonale principale;
2. si cambia il segno degli elementi sulla diagonale secondaria;
3. si dividono tutti gli elementi per il valore del determinante.

La matrice così ottenuta è proprio $A^{-1}$.

Facciamo un esempio per capire meglio il metodo appena descritto. Data la matrice \[A=\begin{bmatrix}1&1\\3&2\end{bmatrix}\]si stabilisce se $A$ è invertibile calcolando il suo determinante: visto che $\text{det}A=2-3=-1$ allora $A$ è invertibile.

1. Scambiamo gli elementi sulla diagonale principale;
   $$\begin{bmatrix}1&1\\3&2\end{bmatrix}\quad \rightarrow \quad \begin{bmatrix}2&1\\3&1\end{bmatrix}$$
2. Cambiamo di segno gli elementi sulla diagonale secondaria:
   $$\begin{bmatrix}2&1\\3&1\end{bmatrix}\quad \rightarrow \quad\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}$$
3. Dividiamo tutti gli elementi $-1$, che è il determinante di $A$, ottenendo quindi la matrice inversa di $A$: \[A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\3&-1\end{bmatrix}.\]

Proprietà della matrice inversa

Consideriamo due matrici invertibili $A, B \in M_{n}(\mathbb{R})$. Valgono le seguenti proprietà, che non dimostriamo.

1. L’operazione di “passaggio all’inversa”, se applicata due volte di fila, dà come risultato la matrice di partenza: cioè, l’inversa dell’inversa di una matrice è la matrice stessa. In formule: $$\left ( A^{-1} \right )^{-1} = A.$$
2. L’inverso del prodotto di $A$ e $B$ è il prodotto delle inverse delle matrici di partenza, scambiate però di posto nell’operazione di moltiplicazione. In formule, questo significa che: $$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}.$$
3. Il determinante dell’inversa di una matrice è pari al reciproco del determinante della matrice di partenza. Con una formula: $$\text{det}\left ( A^{-1} \right ) = \frac{1}{\text{det}A}.$$