Si chiama massimo (o minimo) assoluto o anche globale per una funzione $f(x)$ il massimo (o minimo) valore che la funzione assume nell’intero suo dominio. Il punto $x_0$ tale per cui $f(x_0)$ è massimo (o minimo) assoluto è detto punto di massimo (o minimo) assoluto.
Data una funzione $f$ definita in un certo dominio $D$, $M$ è il massimo assoluto per $f$ se$$\exists x_0 \in D: f(x_0) = M \quad \wedge \quad f(x) \leq M \ \forall x \in D$$In maniera del tutto analoga, $m$ è il minimo assoluto se $$\exists x_0 \in D: f(x_0) = m \quad \wedge \quad f(x) \geq m \ \forall x \in D$$Se invece esiste un certo punto $x_0$ tale per cui $f(x_0)$ è massimo (o minimo) rispetto ai valori che la funzione assume in un intorno di $x_0$, e non necessariamente nell’intero dominio, si parla di massimo (o minimo) relativo e di conseguenza di punto di massimo (o minimo) relativo.
Quali caratteristiche deve avere una funzione per avere massimo e minimo? Il teorema di Weierstrass ci fornisce una condizione sufficiente (se ci limitiamo a osservare la funzione in un intervallo) ma il problema è potenzialmente molto complesso. In generale, massimi e minimi della funzione vanno cercati tra i punti stazionari (cioè i punti dove si annulla la derivata prima), ma non è detto che si riescano a trovare tutti; bisogna anche controllare i punti in cui la derivata prima non è definita e gli estremi del dominio. Per esempio, la funzione valore assoluto $y = \lvert x \rvert$ ammette minimo assoluto in $0$, ma la derivata non è definita in tale punto. Per maggiori dettagli su questo argomento, rimandiamo alla lezione sul teorema di Fermat sui punti stazionari.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3math.