Abbiamo visto che cos’è la derivata di una funzione. Ma come si fa a stabilire se una funzione $f$ sia derivabile o meno in un dato punto $x_0$ del proprio dominio?
La derivata è il limite del rapporto incrementale. Tale limite può esistere o non esistere. Se esiste finito, la funzione è derivabile in $x_0$. Qualora tale limite non esista o esista, ma sia infinito, allora siamo in presenza di un punto di non derivabilità per la funzione $f$. A seconda della ragione per la quale il limite suddetto non esiste, tali punti di non derivabiltà si classificano. Vanno dapprima calcolati i limiti destro e sinistro della funzione derivata prima nel punto $x_0$; possono allora presentarsi i seguenti casi:
- Se i due limiti esistono finiti ma sono diversi, o se uno dei due limiti è infinito e l’altro noin $x_0$ si ha un punto angoloso
- Se i due limiti sono entrambi uguali a $+\infty$ o $-\infty$, in $x_0$ si ha un flesso a tangente verticale
- Se i due limiti sono uno $+\infty$ e l’altro $-\infty$, in $x_0$ si ha una cuspide
N.B. - Per sapere se una funzione è derivabile in un punto non basta verificare che sia continua! Un teorema fondamentale afferma che la continuità in un punto è condizione necessaria (ma non sufficiente) perché una funzione sia derivabile. Vale a dire: la derivabilità implica la continuità, ma non è vero viceversa.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math.