Ci sono situazioni in cui è necessario schierarsi per ottenere dei risultati. In un certo senso è ciò che bisogna fare quando, per calcolare un limite si sceglie l’intorno del punto $x_0$ nel quale studiare il comportamento della funzione: destro o sinistro. Può succedere infatti che tale scelta possa influenzare il risultato che otteniamo. E’ ciò che accade con nel caso di una funzione piuttosto semplice: $$ f(x) = \frac{1}{x} $$ che non è definita per $ x=0 $ e il cui grafico è rappresentato da un’iperbole equilatera riferita agli asintoti.
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E’ facile accorgersi che se si considerano valori positivi di $x$ (ovvero si studia il comportamento di $ f(x) $ nell’intorno destro di zero) la funzione rimane positiva e, avvicinandosi a zero, assume valore via via più grandi senza fermarsi mai. Assunta la restrizione ai valori di $x$ maggiori di zero possiamo allora dire che il limite destro della funzione (ovvero il limite di $f$ per $x$ che tende a $0^+$) vale $+\infty$. La notazione da utilizzare è la seguente: $$\lim_{x\to0^+}f(x) = +\infty $$ dove il piccolo segno “$+$” posto sopra lo zero significa che stiamo considerando valori più grandi dello stesso, cioè vi ci accostiamo da destra.
Discorso opposto se invece studiamo il comportamento di $f(x)$ nell’intorno sinistro di $0$, abbiamo il limite sinistro $$ \lim_{x\to0^-} f(x) = -\infty $$ dove il significato del “$-$” a questo punto è evidente: sta ad indicare che ci stiamo avvicinando da sinistra, ovvero con valori più piccoli di $0$.
Una notazione simile viene a volte utilizzata per esprimere un concetto analogo che riguarda le $y$. Ancora una volta la funzione $f(x)$ prima definita risulta utile. Possiamo infatti scrivere quanto segue $$ \lim_{x\to+\infty}f(x) = 0^+ $$ intendendo che man mano che la $x$ cresce la funzione assume valori sempre più prossimi a zero. Il segno “$+$” in alto fornisce però un’informazione aggiuntiva: da un certo momento in avanti questo avvicinamento a zero avviene da sopra, ovvero con valori sì sempre più prossimi a $0$, ma comunque definitivamente maggiori. Analogo discorso per l’avvicinamento da sotto: $$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0^- $$
Questa scrittura si utilizza anche quando i numeri coinvolti sono diversi da zero. Nel caso in cui, per esempio, per una certa funzione $g(x)$ valesse quanto segue: $$ \lim_{x \to c^-} g(x) = l^+ $$ ciò significherebbe che quando ci avviciniamo a $c$ da sinistra ($c^-$) il valore della funzione $g$ si avvicina ad $l$ da sopra ($l^+$); si avrebbe cioè un comportamento simile a quello della seconda figura:
Questo tipo di situazione, che può verificarsi osservando i limiti di una funzione di una variabile reale, si "amplificano" quando vogliamo studiare limiti in più variabili, dove abbiamo a che fare con funzioni di più variabili reali.