Durante gli ultimi anni delle superiori, di norma, si studiano le funzioni reali di variabile reale: queste sono le funzioni del tipo $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$dove $\mathbb{R}$ è l’insieme dei numeri reali. Le funzioni di questo genere rivestono enorme importanza all’interno dell’Analisi Matematica; abbiamo inoltre a disposizione un buon numero di strumenti, come limiti, derivate, integrali e così via, grazie ai quali possiamo apprezzare l’enorme varietà che esiste all’interno dell’insieme delle funzioni di questo genere (che si può notare anche solo dando un’occhiata alle cosiddette funzioni elementari).
Le funzioni di più variabili reali sono la naturale estensione del concetto di funzione reale di variabile reale “in più dimensioni”. Con questa espressione si intende dire che una funzione di più variabili prende in ingresso più di un numero reale (anziché uno solo) e ne restituisce nuovamente più di uno - e non necessariamente tanti quanti ne ha presi in ingresso. In termini un po’ più tecnici, possiamo dire che una funzione di più variabili reali ha dominio in $\mathbb{R}^n$ e codominio in $\mathbb{R}^m$ per certi numeri naturali $n$ e $m$ (non necessariamente uguali), e che quindi può essere indicata con la seguente scrittura: $$f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$$Facciamo alcuni esempi per capire di cosa stiamo parlando.
- La funzione che prende in ingresso due numeri e ne restituisce il loro prodotto è una funzione di più variabili, che possiamo scrivere così: ##KATEX##\begin{aligned} f: \mathbb{R}^2 & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x_1, x_2) & \mapsto x_1 \cdot x_2 \end{aligned}##KATEX##Possiamo quindi scrivere che $f (1, 2)=1 \cdot 2 = 2$, oppure $f (3, 5)= 15$, e così via.
- Consideriamo la funzione descritta così: ##KATEX##\begin{aligned} g: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R}^2 \\ t & \mapsto (\cos(t), \sin(t)) \end{aligned}##KATEX##Come spiegato brevemente in questa lezione, la funzione $g$ rappresenta una possibile parametrizzazione della circonferenza di raggio $1$ centrata nell’origine degli assi: in altre parole, per ogni scelta di $t \in \mathbb{R}$ sappiamo che la coppia $g(t) = (\cos(t), \sin(t))$ può essere rappresentata come un punto di tale circonferenza, che è contenuta nel piano $\mathbb{R}^2$.
- La posizione di un oggetto nello spazio è rappresentata da tre numeri reali, che costituiscono un vettore (tridimensionale). Supponiamo che un certo corpo sia in movimento, e che sia possibile sapere conoscere la posizione che esso assumerà a partire dalla posizione in cui si trova un secondo prima. Questo significa che esiste una funzione del tipo $$h: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$$in grado dirci che, se il nostro corpo si trova nella posizione $(a, b, c)$, allora un secondo dopo si troverà nella posizione $h(a, b, c)$.
Decidendo di “allargare” dominio e codominio, ci si rende conto che le possibili funzioni che siamo in grado di costruire adesso sono davvero tante. Vale quindi la pena di fare una prima importante semplificazione. Ogni volta che siamo di fronte a una funzione del tipo $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$, possiamo pensare di scriverla nel seguente modo: ##KATEX##\begin{aligned} f: \mathbb{R}^n & \rightarrow \mathbb{R}^m \\ (x_1, \ldots, x_n) & \mapsto \left ( f_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, f_m(x_1, \ldots, x_n) \right ) \end{aligned}##KATEX##dove $f_1, \ldots, f_m$ sono $m$ funzioni da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$. In questo modo stiamo sostanzialmente dicendo che una funzione che ha codominio in $\mathbb{R}^m$ può essere “spezzettata” in $m$ funzioni con immagine in $\mathbb{R}$. Per questo motivo, d’ora in poi, ci concentreremo quasi esclusivamente sulle funzioni di più variabili del tipo $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, alle quali ci riferiremo, con un piccolo abuso di notazione, chiamandole “funzioni di più variabili”. Per funzioni di questo tipo, saremo in grado di definire qualcosa di analogo al concetto di limite e di derivata, passando dalla definizione di derivate parziali e direzionali e di gradiente.
Tra le funzioni da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$, inoltre, hanno particolare importanza le funzioni con $n=2$. Il motivo è presto detto: le funzioni reali di variabile reale (cioè da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$) hanno un grafico che possiamo rappresentare in $\mathbb{R}^{1+1}=\mathbb{R}^2$, e analogamente funzioni da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ avranno grafico in $\mathbb{R}^{2+1} = \mathbb{R}^3$ che è lo spazio più grande possibile in cui siamo in grado di visualizzare interamente un grafico. Infatti il grafico di una funzione di più variabili con dominio in $\mathbb{R}^3$ - che è l’esempio di funzione di più variabili immediatamente successivo - “vive” in $\mathbb{R}^4$, spazio che non siamo in grado nemmeno di immaginare.
A titolo di esempio, riportiamo il grafico della funzione “prodotto”, che abbiamo descritto per prima tra gli esempi di funzioni di più variabili:
Il grafico di questa funzione è una superficie dalla forma abbastanza particolare, ma è anche possibile rappresentare oggetti tridimensionali più familiari, come la superficie laterale di un cono:
Ecco invece come si può rappresentare una piramide a base quadrata:
Insiemi di livello e curve di livello
Prendiamo una funzione di più variabili $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ e consideriamo un certo $a$ contenuto nel codominio di $f$.
Definizione
L’insieme $f^{-1}(a)$, cioè la controimmagine di $a$ tramite la funzione $f$, è detto insieme di livello per la funzione $f$.
Intuitivamente, possiamo dire che l’insieme di livello $f^{-1}(a)$ è la proiezione sul piano $Oxy$ dell’intersezione tra il piano $z=a$ e il grafico della funzione $f$. In sostanza è l’insieme dei punti del dominio di $f$ che viene mandato alla “quota” $a$, o al “livello” $a$.
Quando l’insieme di livello è rappresentabile come una curva nel piano $Oxy$, allora tale insieme verrà chiamato curva di livello (a volte anche linea di livello).
Ci chiediamo: data una funzione $f$, com’è fatto un suo insieme di livello?
La risposta a questa domanda non è molto semplice, in generale. Facciamo alcuni esempi per capire quali sono alcune delle possibilità che possiamo trovarci di fronte.
- La funzione $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ ha come grafico un “cono infinito rovesciato”, con vertice nell’origine degli assi:
La controimmagine di $0$ è il punto $(0,0)$: quindi $f^{-1}(0)$ consiste quindi di un solo punto. Invece, la controimmagine di un qualsiasi $a > 0$ è data da quei punti $(x, y)$ che soddisfano la relazione: $$\sqrt{x^2 + y^2} = a \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = a^2$$Quindi $f^{-1}(a)$ è una circonferenza di raggio $a$ centrata nell’origine, per ogni $a > 0$ (e quindi è una curva di livello). - La funzione costante $g(x, y) = 3$ ha come grafico un piano perpendicolare all’asse $z$ e passante per il punto $(0,0,3)$. La controimmagine di $3$ è tutto il piano $Oxy$, dato che $3$ è l’unico elemento del codominio di $g$.
- Prendiamo la funzione $h(x, y) = xy$, già incontrata prima, e cerchiamo di capire com’è fatto $f^{-1}(0)$. Questo equivale a capire per quali $x$ e $y$ vale la relazione $xy=0$: la legge di annullamento del prodotto ci porta ad affermare che tutti i punti che stanno sull’asse $y$ oppure sull’asse $x$ soddisfano l’uguaglianza scritta poco fa. Quindi $h^{-1}(0)$ è costituito dalle due rette $x=0$ e $y=0$ nel piano $Oxy$, cioè dai due assi cartesiani $x$ e $y$.
- La funzione $$s(x,y) = 2\sin \left ( \frac{\pi}{2} \sqrt{x^2 + y^2} \right )$$ ha il seguente grafico, che ricorda le increspature formate dall’acqua quando una goccia cade sulla sua superficie:
Cerchiamo di capire com’è fatto l’insieme $s^{-1}(2)$. Questo equivale a risolvere la seguente equazione: ##KATEX##\begin{aligned} 2\sin \left ( \frac{\pi}{2} \sqrt{x^2 + y^2} \right ) & = 2 \\ \frac{\pi}{2} \sqrt{x^2 + y^2} & = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \\ \sqrt{x^2 + y^2} & = 1 + 4k \quad k \in \mathbb{Z} \\ x^2 + y^2 & = (1+4k)^2 \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}##KATEX##Per ogni scelta di $k$ positivo questa equazione descrive una circonferenza di raggio $1+4k$ centrata nell’origine. In questo caso, quindi, l’insieme $s^{-1}(2)$ contiene addirittura infinite curve di livello, che sono tutte circonferenze. - Si può verificare abbastanza facilmente che un qualsiasi insieme di livello della funzione $a(x, y) = y - x^2$ è una parabola nel piano $Oxy$. In questo caso quindi tali insiemi sono sempre curve di livello, e in particolare sono anche grafici di funzioni nel piano $Oxy$.
- Consideriamo la funzione $$r(x, y) = y\ln(x) + x\ln(y)$$Ci si accorge facilmente che, comunque scelto $a \in \mathbb{R}$, non sarà possibile capire com’è fatto $r^{-1}(a)$ utilizzando i metodi a cui siamo abituati.
La situazione sembra molto complicata: in effetti lo è davvero, dato che nel caso generale non è possibile stabilire com’è fatto l’insieme $f^{-1}(a)$. Uno dei teoremi più importanti da poter utilizzare in questo ambito è il teorema della funzione implicita, detto anche teorema del Dini, che sotto certe condizioni di regolarità per $f$ assicura che un insieme di livello sia il grafico di una funzione nel piano $Oxy$. Questo è in effetti ciò che accade per la funzione $a(x, y)$ definita sopra.
Nel caso in cui le ipotesi del teorema non siano soddisfatte, però, non possiamo affermare praticamente niente sulle caratteristiche degli insiemi di livello.