Le derivate direzionali di una funzione di più variabili costituiscono una sorta di concetto analogo a quello di derivata per una funzione di una variabile. Abbiamo visto inoltre che - quando la funzione è di due variabili - il valore di una derivata direzionale dà informazioni sulla pendenza della curva individuata dalla direzione scelta sul grafico della funzione. Questo ci ricorda l’interpretazione geometrica della derivata prima di una funzione reale di variabile reale.
A partire dalle derivate parziali (che sono un particolarissimo tipo di derivata direzionale) possiamo definire un nuovo oggetto matematico di estrema importanza.
Definizione
Consideriamo una funzione $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ e supponiamo che in un punto $P \in \mathbb{R}^n$ siano definite tutte le sue $n$ derivate parziali. Allora il vettore $$\nabla f = \left ( \frac{\partial f}{\partial x_1}(P), \frac{\partial f}{\partial x_2}(P), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(P) \right )$$è detto gradiente della funzione $f$ nel punto $P$.
Certe volte, se sarà possibile farlo, ci riferiremo al gradiente senza specificarne il punto in cui viene calcolato, indicandolo semplicemente come $\nabla f$. Questo avverrà, per esempio, quando il gradiente avrà un’espressione univoca per tutti i punti del dominio di $f$ (e quindi non sarà necessario specificare punto per punto il valore che le sue componenti assumono).
Facciamo un esempio: prendiamo la funzione $f(x, y, z) = x^2 + 3x\ln(z) - \frac{6}{x^2 + y^2}$. Seguendo le regole di calcolo delle derivate parziali, otteniamo: ##KATEX##\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = 2x + 3\ln(z) + \frac{12x}{\left ( x^2 + y^2 \right )^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{12y}{\left ( x^2 + y^2 \right )^2} \\ \frac{\partial f}{\partial z} & = \frac{3x}{z} \end{aligned}##KATEX##Il gradiente di $f$ è quindi $$\nabla f = \left ( 2x + 3\ln(z) + \frac{12x}{\left ( x^2 + y^2 \right )^2}, \frac{12y}{\left ( x^2 + y^2 \right )^2}, \frac{3x}{z} \right )$$Possiamo quindi calcolare, per esempio, il gradiente di $f$ nel punto $P \equiv (1, 0, 1)$, dove tutte le derivate parziali sono definite (e che appartiene al dominio di $f$): $$\nabla f (P) = \left ( 2 + 3\ln(1) + 12, 0, 3 \right ) = (14, 0, 3)$$Vale anche il seguente importantissimo risultato:
TEOREMA (formula del gradiente): Consideriamo una funzione $f$ differenziabile in un punto $P$. Allora vale la seguente formula, detta anche formula del gradiente: $$\frac{\partial f}{\partial v}(P) = \nabla f \ \cdot \ v = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}v_i$$dove $v$ è un qualsiasi vettore e $\frac{\partial f}{\partial v}(P)$ è la derivata direzionale in $P$ rispetto alla direzione $v$. L’operazione $\cdot$ è quella di prodotto scalare tra vettori.
A partire da questo risultato (che non dimostriamo) è possibile dedurre che:
- il gradiente rappresenta la direzione lungo cui la funzione cresce più velocemente;
- in ciascuno dei punti di una qualsiasi curva di livello (di una funzione di due variabili) la retta tangente a essa è perpendicolare al gradiente.
Matrice Jacobiana di una funzione
Passiamo invece a considerare funzioni di più variabili nella loro accezione più generale, cioè funzioni del tipo $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$. Come sappiamo, a partire da questa funzione ne possiamo definire altre $m$, che chiamiamo $f_i$ (con $1 \leq i \leq m$) che vanno da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$ e sono tali che $$f(x) = \left ( f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x) \right )$$Ciascuna $f_i$ ammette il suo corrispondente gradiente $\nabla f_i$, dove esiste.
Definizione
Consideriamo una funzione $f$ definita come sopra e un punto $P \in \mathbb{R}^n$. La matrice di dimensioni $m \times n$ $$\text{J}f(P) = \left ( \ \begin{matrix} & \nabla f_1(P) & \\ \hline & \nabla f_2(P) & \\ \hline & \vdots & \\ \hline & \nabla f_m(P) & \end{matrix} \ \right )$$ottenuta “accostando” gli $m$ gradienti delle $f_i$ in $P$ come righe della matrice, è detta matrice Jacobiana della funzione $f$ nel punto $P$.
In altre parole, la matrice Jacobiana è fatta così: $$\text{J} f(P) = \left ( \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ & \ddots & \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{matrix} \right )$$Così come per il gradiente, anche per la matrice Jacobiana capiterà, a volte, di considerare solamente la sua espressione $\text{J}f$ senza calcolarne le entrate in un certo punto $P$.
Notiamo che quando $m=1$ la matrice Jacobiana si riduce al gradiente di $f$. Quando $m= n=1$ allora $f$ è una funzione reale di una variabile reale: la matrice Jacobiana diventa un solo numero reale, che è proprio la derivata prima di tale funzione. Vediamo quindi come matrice Jacobiana e gradiente rappresentino le naturali generalizzazioni del concetto di derivata per funzioni di più variabili.
Definizione
Prendiamo una funzione $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. In questo caso la matrice Jacobiana $\text{J} f$ è una matrice quadrata di ordine $n$. Allora:
- la traccia di $\text{J} f$ è detta divergenza di $f$;
- il determinante di $\text{J} f$ è detto Jacobiano di $f$.
Riportiamo alcuni fatti interessanti riguardo allo Jacobiano di una funzione.
- Nei punti di $\mathbb{R}^n$ in cui lo Jacobiano è diverso da zero la funzione è localmente invertibile: possiamo cioè trovare una funzione $f^{-1}$ che se composta con $f$ dà come risultato l’identità, a patto di rimanere “vicini” al punto in cui lo Jacobiano è non nullo.
- Il valore dello Jacobiano permette di stimare l’ordine di grandezza con i quali volumi in $\mathbb{R}^n$ vengono ingranditi (o rimpiccioliti) in seguito all’applicazione di $f$.