La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano che si trovano alla stessa distanza (detta raggio della circonferenza) da un punto fisso, chiamato centro.
Per trovare l’equazione che individua una circonferenza occorre riscrivere questa definizione in termini algebrici usando un sistema di coordinate cartesiane. Preso un generico punto del piano $P \equiv (x, y)$, avendo le coordinate del centro $C\equiv (x_C; y_C)$ e il raggio $R$, imponiamo che
$$ d(P,C) = R \Leftrightarrow \sqrt{(x - x_C)^2 + (y- y_C)^2} = R$$
Elevando al quadrato si ottiene l'equazione della circonferenza, in forma implicita, cioè dati il centro e il raggio:
$$ (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2$$
Sviluppando i quadrati e rinominando i coefficienti si ricava l'equazione in forma esplicita o canonica della circonferenza:
$$ x^2 + y^2 + ax + by +c = 0 $$
dove $a = -2 x_C $, $b = -2 y_C$, e $ c =x_C^2 + y_C^2 - R^2 $; di conseguenza $x_C = - \frac{1}{2} a$, $y_C = -\frac{1}{2} b$ e $R^2 = x_C^2 + y_C^2 - c$, ossia $R = \sqrt{x_C^2 + y_C^2 - c}$
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math