fasci di circonferenze
Nel fascio di circonferenze generato dalle circonferenze di equazioni x^2+y^2-6x-6y+17=0 e x^2+y^2+4x=0 individua la circonferenza con il centro sulla retta di equazione 3x=4y.
il 19 Marzo 2018, da antonio pellegriti
Prima di tutto con la combinazione lineare trova il fascio di circonferenza, successivamente nella retta sostituisci alla x e alla y rispettivamente -a/2 e -b/2 (a e b li trovi dal fascio). Ti trovi una equazione in k, risolvi e sostituisci all'equazione del fascio.
Grazie Giulio. Anch'io sono riuscito a risolvere il problema che qui espongo in modo dettagliato. L'equazione lineare del fascio è : x^2+y^2-6x-6y+17+k(x^2+y^2+4x)=0 da cui raccogliendo avremo : (1) (1+k)x^2+(1+k)y^2-6x-6y+17+4kx=0 per k=-1 otteniamo una circonferenza degenere (retta : asse radicale) ; dividendo entrambi i membri per (1+k) diverso da 0, avremo l'equazione lineare del fascio in forma canonica: x^2+y^2-[(6-4k)/(1+k)]x-[6/(1+k)]y+17/(1+k)=0 le coordinate del centro sono : C [(6-4k)/2(1+k) ; 6/2(1+k)] da cui C[(3-2k)/(1+k) ; 3/(1+k)] A questo punto affinché il centro C appartenga alla retta 3x=4y ovvero 3x-4y=0 , dobbiamo imporre la condizione di appartenenza, cioè : 3 * (3-2k)/(1+k)-4 * 3/(1+k)=0 risolvendo otterremo : k=-1/2 Ritornando alla (1) e sostituendo il valore di k testé trovato avremo : (1-1/2)x^2+(1-1/2)y^2-6x-6y+17-4*1/2x=0 Risolvendo questa equazione troveremo l'equazione della circonferenza desiderata avente centro sulla retta 3x=4y : x^2+y^2-16x-12y+34=0 le coordinate del centro sono di conseguenza : C [(3+2*1/2)/(1-1/2) ; 3/(1-1/2)] ovvero C(8;6) Infine, per completezza , l'asse radicale ha equazione : 10x+6y-17=0 eq. in forma implicita L'asse dei centri ha invece equazione : y=(3/5)x+6/5 eq. in forma esplicita