Prendiamo un poligono qualsiasi e un punto $V$ nello spazio, che non sia complanare al poligono. Se colleghiamo con un segmento ciascun vertice del poligono con $V$ otteniamo un poliedro.
Definizione
Il poliedro ottenuto seguendo la procedura descritta prima è detto piramide. Il punto $V$ viene detto vertice della piramide, e il poligono da cui siamo partiti viene detto base della piramide.
L'altezza della piramide è il segmento che congiunge $V$ con il piano dove giace la base, ed è perpendicolare ad esso.
Come si può vedere dal disegno, ciascuna delle facce che non è la base è un triangolo, che ha per base uno dei lati del poligono di base.
In una piramide che ha per base un poligono di $n$ lati abbiamo:
- $n+1$ vertici;
- $2n$ spigoli;
- $n+1$ facce.
Possiamo definire alcuni tipi particolare di piramide, e studiarne le loro proprietà.
- Se possiamo inscrivere una circonferenza nella base di una piramide e l’altezza della piramide coincide con il segmento $VO$, dove $O$ è il centro della circonferenza inscritta, allora diciamo che la piramide è retta.
Una piramide che non rispetti queste condizioni è detta piramide obliqua. - In una piramide retta, un segmento passante per $V$ e perpendicolare a un lato della base è detto apotema della piramide.
Ciascun apotema è altezza della faccia su cui giace, che è sempre un triangolo. Inoltre, tutti gli apotemi di una piramide retta sono congruenti fra loro, e quindi potremo riferirci in generale a “l’apotema” della piramide retta, senza ambiguità. - Una piramide retta il cui poligono di base è regolare è detta piramide regolare.
In una piramide regolare tutte le facce sono triangoli isosceli congruenti. Questo significa che tutti gli spigoli che non appartengono alla base della piramide sono congruenti fra loro.
Formule per la piramide
Elenchiamo qui di seguito le formule principali per ricavare volume, superficie laterale e totale e altre quantità relative a una piramide.
Indicheremo con $A$ l’area del poligono di base e con $2p$ il suo perimetro. Per l’altezza della piramide invece utilizzeremo la lettera $h$.
Volume. Il volume di una piramide è uguale a un terzo del volume del prisma che ha la stessa base e la stessa altezza della piramide: $$V = \frac{A \cdot h}{3}.$$
Apotema. L’apotema è definito solamente per una piramide retta. Dato che possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo che ha per lati $a, h$ e il raggio $r$ della circonferenza inscritta nel poligono di base, abbiamo: $$a = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{\left ( \frac{2\cdot A}{2p} \right )^2 + h^2 }$$visto che $r = \frac{2 \cdot A}{2p}$
Se la piramide è regolare e $f$ è il numero fisso del poligono di base, allora: $$a = \sqrt{f^2\cdot l^2 + h^2}$$dove $l$ è la misura del lato della base.
Superficie laterale. In generale non è possibile trovare una formula che ci dica quanto vale la superficie laterale di una piramide obliqua. Tuttavia, quando abbiamo a che fare con una piramide retta, vale la seguente formula: $$S_{lat} = \frac{2p \cdot a}{2}$$dove $a$ è l’apotema della piramide.
Questa formula può essere ulteriormente riscritta se la piramide retta è anche regolare: se il poligono di base ha $n$ lati di misura $l$, abbiamo: $$S_{lat} = \frac{n \cdot l \cdot a}{2} = \frac{n \cdot l \cdot \sqrt{f^2\cdot l^2 + h^2}}{2}$$dove $f$ è il numero fisso del poligono.
Superficie totale. In generale, vale la formula: $$S_{tot} = S_{lat} + A$$e questa formula non può essere semplificata ulteriormente quando stiamo considerando una piramide obliqua (dato che la superficie laterale non ha una formula specifica in questo caso). Quando la piramide è retta o regolare, $S_{lat}$ può essere calcolata come abbiamo visto prima, e $A$ dipende sempre dal poligono di base.
È importante sottolineare che è possibile ricavare altre formule per le grandezze relative a una piramide semplicemente invertendo le formule che abbiamo appena visto. Per esempio, l’altezza $h$ di una piramide retta può anche essere ricavata così: $$h = \frac{3 \cdot V}{A}$$Questa formula è utile se conosciamo il valore del volume $V$ e dell’area di base $A$, ovviamente; in generale, infatti, si utilizzano determinate formule inverse in base ai dati del problema che stiamo affrontando.
Il tronco di piramide: formule
Quando tagliamo una piramide con un piano parallelo alla base, otteniamo una piramide più piccola che ha lo stesso vertice della piramide di partenza. La parte rimanente della piramide, invece, viene chiamata invece tronco di piramide.
La base superiore, ottenuta sezionando la piramide con il piano, viene chiamata base minore, mentre la base inferiore (che è la base della piramide di partenza) è detta base maggiore. La distanza tra le due basi viene chiamata altezza del tronco di piramide.
Se il tronco di piramide è ottenuto a partire da una piramide retta, allora è possibile definire l’apotema del tronco di piramide come “ciò che rimane” dell’apotema della piramide retta successivamente ad aver sezionato la piramide. Alternativamente, possiamo notare che le facce laterali di un tronco di piramide sono tutti trapezi, e l’apotema è proprio l’altezza di uno qualsiasi di questi trapezi.
Vale la pena di notare, inoltre, che base minore e base maggiore sono sempre poligoni simili.
In seguito ci riferiremo alla superficie della base minore come a $B$, mentre la superficie di base maggiore sarà $A$. L’altezza del tronco di piramide sarà indicata con $h$. Vediamo dunque le formule relative a un tronco di piramide.
Volume. Il matematico greco Erone di Alessandria (noto anche per aver ricavato la cosiddetta formula di Erone, che permette di ricavare l’area di un triangolo conoscendone solamente i lati) dimostrò che un tronco di piramide ha volume dato dalla seguente formula: $$V = \frac{h}{3} \left ( A + \sqrt{AB} + B \right ) $$
Apotema. Se possiamo parlare di apotema, significa che stiamo considerando un tronco di piramide retto. Il raggio del cerchio inscritto nella base maggiore è $r_A = \frac{2A}{2p_A}$, dove $2p_A$ è il perimetro di tale base; analogamente, $r_B = \frac{2B}{2p_B}$. Queste formule possono essere utili per ricavare l’apotema $a$ del tronco di piramide, dato che vale la formula: $$a = \sqrt{(r_A - r_B)^2 + h^2}$$
Superficie laterale. Se il tronco di piramide è ricavato da una piramide retta, allora possiamo ottenere una formula per la superficie laterale: $$S_{lat} = \frac{(2p_A + 2p_B) \cdot a}{2}$$dove $a$ è l’apotema e $2p_A, 2p_B$ sono i perimetri della base maggiore e minore, rispettivamente.
Superficie . La misura della superficie totale dipende dalle aree di base $A$ e $B$. In generale: $$S_{tot} = S_{lat} + A + B$$ma non possiamo migliorare questa formula se non abbiamo più informazioni sul tronco di piramide. Se il tronco di piramide è retto, allora la superficie laterale può essere ricavata utilizzando la formula che abbiamo visto prima.
Nelle formule viste, non abbiamo considerato il caso in cui la piramide da cui si ricava il tronco è regolare. In questo caso le formule sarebbero in parte diverse da quelle che abbiamo visto, così come era accaduto studiando la piramide regolare.
Inoltre, come abbiamo fatto per la piramide, è possibile ottenere numerose formule aggiuntive riguardo al tronco di piramide, semplicemente invertendo le formule che abbiamo già ottenuto. Per esempio, l’altezza $h$ del tronco può essere ottenuta con la formula: $$h = \frac{3V}{A + \sqrt{AB} + B}$$