In Geometria euclidea, molte delle definizioni e dei teoremi trattano di lati, angoli e poligoni congruenti. In alcuni casi però vale la pena considerare le figure geometriche sotto un altro punto di vista. In alcuni contesti, per esempio, può essere utile considerare equivalenti due figure che “hanno la stessa forma” a prescindere dalle loro dimensioni. Il concetto di similitudine è proprio lo strumento matematico che ci serve, e che andiamo a definire. Il concetto di similitudine è proprio lo strumento matematico che ci serve, e che andiamo a definire.
Definizione
Due poligoni che hanno lo stesso numero di lati si dicono simili quando:
- gli angoli corrispondenti sono congruenti;
- le coppie di lati che comprendono angoli corrispondenti sono proporzionali.
Gli angoli corrispondenti verranno chiamati anche angoli omologhi; in maniera analoga si parlerà di vertici omologhi, lati omologhi, diagonali omologhe.
La relazione di similitudine tra poligoni è una relazione di equivalenza all’interno dell’insieme dei poligoni.
Definizione
Dati due poligoni simili $P$ e $P’$, il rapporto di due lati omologhi è detto rapporto di simitudine dei due poligoni.
Nonostante il rapporto di similitudine tra $P$ e $P’$ venga definito come il rapporto tra due specifici lati omologhi, esso può essere utilizzato per ricavare la misura di un qualunque elemento di $P’$ a partire dalla misura del corrispondente omologo di$P$ (o viceversa). Il rapporto di conversione rappresenta quindi una sorta di “fattore di conversione” tra un poligono e l’altro.
TEOREMA: Se da due vertici omologhi di due poligoni simili si conducono tutte le possibili diagonali, i poligoni restano divisi nello stesso numero di triangoli, e questi triangoli sono rispettivamente simili.
Possiamo dunque affermare che, se scomponiamo due poligoni in triangoli nel modo descritto nell’enunciato del teorema e individuiamo anche solo una coppia di triangoli che non sono simili, allora certamente anche i poligoni di partenza non lo saranno.
Elenchiamo alcuni interessanti risultati riguardo ai poligoni simili.
- I perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati omologhi. In altre parole, il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è proprio il rapporto di similitudine.
- Le aree di due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi. In modo equivalente, possiamo dire che il rapporto tra le aree di due poligoni simili è il quadrato del rapporto di similitudine.
- Due poligoni regolari dello stesso numero di lati sono simili. I rapporti tra i loro perimetri, i raggi delle circonferenze circoscritte e gli apotemi sono tutti uguali al rapporto di similitudine.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino