Nello studio dei poligoni simili, si vede come lo studio dei triangoli abbia particolare importanza. Infatti, in generale, due poligoni sono simili se i triangoli che lo compongono lo sono. Per questo motivo risulta fondamentale trovare un metodo per stabilire facilmente se due triangoli sono simili, o se non lo sono.
TEOREMA (primo criterio di similitudine tra triangoli): Due triangoli sono simili se hanno rispettivamente due angoli congruenti.
Il triangolo è l’unico poligono per il quale è possibile ricavare un criterio di similitudine che prenda in considerazione solamente gli angoli. Appena prendiamo due quadrilateri - per esempio, due rettangoli - ci rendiamo conto che gli angoli di entrambi i poligoni sono addirittura tutti congruenti fra loro, ma non possiamo dire che i rettangoli sono simili, come si vede nella figura seguente.
Possiamo elencare numerose conseguenze del primo criterio di similitudine; per esempio, tra i risultati più utili per risolvere gli esercizi c’è il seguente teorema.
TEOREMA: In un triangolo, consideriamo un suo lato e una retta parallela a esso, che interseca gli altri due lati. Prendiamo i punti di intersezione così determinati e il vertice del triangolo opposto al lato preso in considerazione. Questi punti sono i vertici di un triangolo simile al triangolo dato.
Elenchiamo altri risultati utili, che sono semplici conseguenze del primo criterio di similitudine.
- Tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro (discende dalle proprietà di similitudine dei poligoni regolari).
- Due triangoli isosceli sono simili se hanno congruenti gli angoli al vertice, o gli angoli alla base.
- Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto rispettivamente congruente.
TEOREMA (secondo criterio di similitudine tra triangoli): Due triangoli sono simili se:
- due lati del primo triangolo sono proporzionali ad altri due lati del secondo, con lo stesso rapporto;
- l’angolo compreso tra i due lati del primo triangolo è congruente all’angolo compreso tra i due lati dell’altro triangolo.
Come conseguenza notevole di questo criterio, si ha che due triangoli rettangoli sono simili se i cateti del primo sono proporzionali ai cateti dell’altro. Infatti l’angolo compreso tra i cateti è sempre retto, in qualsiasi triangolo rettangolo.
TEOREMA (terzo criterio di similitudine tra triangoli): Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali.
Notiamo che il triangolo è l’unico poligono per il quale è possibile ottenere un criterio di similtudine che prenda in considerazione solamente i lati. Per esempio, prendiamo in considerazione un rombo e un quadrato, tali per cui la misura del lato del rombo sia uguale alla misura del lato del quadrato.
Si ha che $AB : EF = BC : FG = CD : GH = DA : HE = 1$, ma chiaramente i due poligoni non sono simili.
Prendiamo ora due triangoli simili. Così come per una qualsiasi coppia di poligoni simili, possiamo determinare il rapporto di similitudine tra essi, che indichiamo con $k$.
Qual è il ruolo che $k$ ha nel determinare le grandezze di un triangolo, a partire da quelle dell’altro?
Abbiamo le seguenti proprietà.
- Il rapporto tra le altezze di $ABC$ e $A’B’C’$ rispetto a basi omologhe è lo stesso che c’è tra le rispettive basi, cioè è pari a $k$.
- Il rapporto tra i perimetri di $ABC$ e $A’B’C’$ è uguale a $k$.
- Il rapporto tra le aree di $ABC$ e $A’B’C’$ è uguale a $k^2$.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino