Nello studio dei quadrilateri, rivestono particolare importanza i parallelogrammi, che sono quei quadrilateri che hanno due coppie di lati paralleli tra loro. Vogliamo individuare un'ulteriore sottoclasse dei parallelogrammi, imponendo una condizione sugli angoli interni.
Definizione
Un parallelogramma che ha tutti gli angoli interni congruenti tra loro si dice rettangolo.
Dato che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre pari ad un angolo piatto, ossia a $360^\circ$ o $2 \pi$ radianti, è chiaro che ciascun angolo interno di un rettangolo misura $360 : 4 = 90$ gradi, ossia $2\pi : 4 = \frac{\pi}{2}$ radianti, cioè è un angolo retto.
La condizione di congruenza tra gli angoli interni è inoltre sufficiente a garantire che un quadrilatero qualsiasi (e non per forza un parallelogramma) sia un rettangolo: ogni quadrilatero che abbia i quattro angoli interni tutti congruenti tra loro è dunque un rettangolo.
Nel caso particolare in cui tutti i lati siano uguali (e cioè, che il rettangolo sia anche un rombo), il rettangolo verrà chiamato quadrato.
TEOREMA (Caratterizzazione di un rettangolo):Un parallelogramma è un rettangolo se e solo se ha le diagonali congruenti, o se ha almeno un angolo retto.
Formule del rettangolo
Ciascun rettangolo è completamente determinato se si conoscono due dei suoi lati non paralleli fra loro (spesso chiamati anche dimensioni del rettangolo) oppure un lato qualsiasi e una delle sue diagonali (che, ribadiamo, sono congruenti). Per queste formule faremo riferimento alla figura mostrata all’inizio della lezione.
Area: $A = b \cdot a$
Perimetro: $2p = 2b + 2a$
Diagonale: $d = \sqrt{a^2+b^2}$
Se si conosce un lato e una sua diagonale, si possono usare le formule precedenti una volta ricavata la dimensione mancante: infatti $$ a = \sqrt{d^2 - b^2} \qquad \text{e} \qquad b = \sqrt{d^2 - a^2}. $$
Vediamo ora come si collocano i rettangoli all’interno dell’insieme dei quadrilateri:
