Area e perimetro del trapezio rettangolo, isoscele, scaleno: Formule

I poligoni aventi quattro lati si chiamano quadrilateri. Quali sono le proprietà che caratterizzano questi oggetti geometrici? La classe più generale di quadrilateri che viene analizzata di solito è quella dei trapezi. In questa lezione ne vedremo le proprietà principali e studieremo tutte le formule più importanti per trovare area, perimetro e altre grandezze geometriche.

Definizione

Si chiama trapezio un quadrilatero avente due lati paralleli.
I due lati paralleli si dicono basi del trapezio: se non sono congruenti, in genere si distingue tra la base maggiore $B$ e la base minore $b$ . I rimanenti due lati vengono chiamati lati obliqui $l_1, l_2$ del trapezio; la distanza tra le basi è detta altezza $h$ del trapezio. I segmenti che collegano vertici opposti del trapezio si chiamano diagonali $d_1, d_2$ .
Inoltre:

se i lati obliqui $l_1, l_2$ del trapezio sono congruenti, il trapezio è detto trapezio isoscele;
se uno dei due lati del trapezio è perpendicolare a una base (e quindi anche all’altra) il trapezio si dice trapezio rettangolo;
se il trapezio non ha particolari proprietà, diremo che è un trapezio scaleno.

Valgono i seguenti risultati:

TEOREMA: Un trapezio è isoscele se e solo se gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti (questo risultato è stato già evidenziato nella figura precedente).

TEOREMA: In un trapezio, gli angoli adiacenti a un lato obliquo sono supplementari (facendo riferimento alla figura per il trapezio scaleno: $\alpha + \gamma = \beta + \delta = \pi$ ).

Inoltre, in un trapezio isoscele anche gli angoli opposti sono supplementari (utilizzando la figura del trapezio isoscele: $\alpha + \gamma = \pi$ ) e le diagonali sono congruenti.

TEOREMA: Le diagonali di un trapezio si tagliano in parti proporzionali.

Formule per il trapezio

Le formule più comuni, utilizzabili per un trapezio generico, sono le seguenti:

Area: $\displaystyle A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$
Perimetro: $\displaystyle2p = B+b+l_1+l_2$
Altezza: $\displaystyle h=\frac{2A}{B+b}$

Base maggiore: $\displaystyle B =\frac{2A}{h} - b$

Base minore: $\displaystyle b =\frac{2A}{h} - B$

dove $B$ è la base maggiore, $b$ la base minore, $h$ l'altezza e $l_1, l_2$ i lati obliqui.

Diamo ora delle formule per trovare la misura di area, perimetro, altezza, lati obliqui e diagonali di un trapezio nel caso in cui si conoscano:

le due basi $B, b$ e gli angoli alla base $\alpha$ e $\beta$ ;
i quattro lati $B, b, l_1, l_2$ .

La motivazione di questa scelta sta nel fatto che conoscere una di queste due combinazioni di grandezze determina completamente tutte le misure dei lati e degli angoli del trapezio (a differenza di quanto accade se si conoscono solo le basi e l’altezza del trapezio, per esempio).

Per una comprensione approfondita delle formule in cui compaiono gli angoli $\alpha$ e $\beta$ , si richiede la conoscenza della trigonometria e delle funzioni goniometriche in generale.