Dati due insiemi $A$ e $B$, possiamo considerare il prodotto cartesiano $A \times B$, che conterrà tutte le coppie ordinate di elementi di $A$ ed elementi di $B$.
Definizione
Una relazione tra gli insiemi: $A$ e $B$ è un qualsiasi sottoinsieme: $\mathscr{R}$ del prodotto cartesiano $A \times B$.
Quando un elemento $a \in A$ e un altro elemento $b \in B$ sono tali per cui $(a,b) \in \mathscr{R}$, allora diremo che $a$ è in relazione $\mathscr{R}$ (se non c’è ambiguità, soltanto in relazione) con $b$ e scriviamo $a \mathscr{R} b$.
Nella definizione si fa riferimento a due insiemi $A$ e $B$ apparentemente distinti, ma nessuno vieta di considerare $B = A$ e quindi di considerare una relazione di $A$ con se stesso (e quindi un sottoinsieme di $A \times A$). In questo caso, si parlerà di una relazione $\mathscr{R}$ definita in $A$.
Per chiarire meglio il concetto di relazione, facciamo un esempio. Dati gli insiemi $$A = \{ -1, 1, 3, 4 \} \qquad \qquad B = \{1, 7, 9 \}$$ consideriamo la relazione $$\mathscr{R} = \{ (-1, 1), (1, 1), (3, 9) \} \subset A \times B.$$ La relazione è stata definita come un arbitrario sottoinsieme di $A \times B$; non è necessario che ci sia un “motivo” per cui un elemento di $A$ sia in relazione con un altro elemento di $B$.
In realtà, si vede subito che se $(a, b) \in \mathscr{R}$ allora $b = a^2$ e viceversa. In altre parole, potremmo descrivere $\mathscr{R}$ in questo modo: $$a \mathscr{R} b \quad \Leftrightarrow \quad b = a^2, \quad \forall a \in A, \forall b \in B.$$ Capiterà molto spesso di poter descrivere le relazioni con espressioni matematiche o logiche, in modo simile a quanto appena fatto, ma ribadiamo che non sempre questo è possibile (o addirittura utile).
Definizione
Siano dati due insiemi $A$ e $B$, e una relazione $\mathscr{R}$ tra essi. Si chiama dominio di $\mathscr{R}$ l’insieme $D \subseteq A$ tale per cui ogni suo elemento è in relazione con almeno un elemento di $B$.
Si chiama invece codominio di $\mathscr{R}$ l’insieme $C \subseteq B$ tale per cui ogni suo elemento è in relazione con almeno un elemento di $B$.
Nel nostro esempio, si ha $D = \{-1, 1, 3\}$ e $C = \{1, 9 \}$.
Vogliamo ora rappresentare la relazione $\mathscr{R}$. In genere, piuttosto che utilizzare la rappresentazione intensiva, estensiva o il diagramma di Venn, si preferiscono i seguenti metodi:
- visualizzare $\mathscr{R}$ nel diagramma cartesiano di $A \times B$. Nel nostro esempio:
- utilizzare la rappresentazione sagittale. In questo tipo di rappresentazione, si disegnano separatamente gli insiemi $A$ e $B$, e si collegano con una freccia gli elementi $a \in A, b \in B$ tali che $(a, b) \in \mathscr{R}$ (da $a$ verso $b$ se $\mathscr{R} \subseteq A \times B$, e da $b$ ad $a$ se $\mathscr{R} \subseteq B \times A$). Nel nostro esempio:
Proprietà delle relazioni definite in un insieme $A$
Una relazione $\mathscr{R}$ di $A$ con se stesso può godere di numerose proprietà.
Proprietà riflessiva: $\mathscr{R}$ è riflessiva se qualunque elemento di $A$ è in relazione con se stesso. In simboli, $$ \mathscr{R} \text{ è riflessiva} \qquad \Leftrightarrow \qquad a \mathscr{R} a \quad \forall a \in A.$$
Esempio: se $A = \mathbb{N}$, la relazione $\mathscr{R}$ definita da: $$x \mathscr{R} y \quad \Leftrightarrow \quad x \text{ divide } y$$ è riflessiva (ogni numero naturale divide se stesso).
Proprietà antiriflessiva: $\mathscr{R}$ è antiriflessiva se qualunque elemento di $A$ non è mai in relazione con se stesso. In simboli, $$ \mathscr{R} \text{ è antiriflessiva} \qquad \Leftrightarrow \qquad a \mkern-1mu\not\mathrel{\mkern-2mu\mathscr{R}}\mkern1mu a \quad \forall a \in A.$$
Esempio: se $A$ è l’insieme di tutti gli esseri umani, la relazione $\mathscr{R}$ definita da: $$x \mathscr{R} y \quad \Leftrightarrow \quad x \text{ è figlio di } y$$ è antiriflessiva (nessun essere umano è figlio di se stesso).
Proprietà simmetrica: $\mathscr{R}$ è simmetrica se quando $a$ è in relazione con $b$, allora anche $b$ è in relazione con $a$, dove $a, b \in A$. In simboli, $$\mathscr{R} \text{ è simmetrica} \qquad \Leftrightarrow \qquad \{ a \mathscr{R} b \quad \Rightarrow \quad b \mathscr{R} a \} \quad \forall a, b \in A.$$
Esempio: se $A = \mathbb{N}$, la relazione $\mathscr{R}$ definita da: $$x \mathscr{R} y \quad \Leftrightarrow \quad x +y \text{ è pari }$$ è simmetrica.
Proprietà antisimmetrica: $\mathscr{R}$ è antisimmetrica se quando $a$ è in relazione con $b$ e $b$ è diverso da $a$, allora $b$ non è in relazione con $a$, con $a, b \in A$. In simboli, $$\mathscr{R} \text{ è antisimmetrica} \qquad \Leftrightarrow \qquad \{ a \mathscr{R} b, a \neq b \quad \Rightarrow \quad b \mkern-1mu\not\mathrel{\mkern-2mu\mathscr{R}}\mkern1mu a \} \quad \forall a, b \in A.$$
Esempio: se $A = \mathbb{N}$, la relazione $\mathscr{R}$ definita da: $$x \mathscr{R} y \quad \Leftrightarrow \quad x \text{ è un multiplo di } y$$ è antisimmetrica.
Proprietà transitiva: $\mathscr{R}$ è transitiva se, ogni volta che un elemento $a$ è in relazione con un elemento $b$, e $b$ è in relazione con un elemento $c$, allora si ha che $a$ è in relazione con $c$, dove $a, b, c \in A$. In simboli, $$ \mathscr{R} \text{ è transitiva} \qquad \Leftrightarrow \qquad \{ a \mathscr{R} b, b \mathscr{R} c \quad \Leftarrow \quad a \mathscr{R} c \} \quad \forall a, b, c \in A.$$
Esempio: se $A = \mathbb{N}$, la relazione $\mathscr{R}$ definita da: $$x \mathscr{R} y \quad \Leftrightarrow \quad x \text{ è un multiplo di } y$$ è transitiva.
Definizione
Una relazione $\mathscr{R}$ definita in un insieme $A$ si dice relazione di equivalenza se è contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva.
Dato un elemento $a \in \mathscr{R}$, il sottoinsieme di $\mathscr{R}$ che contiene tutti gli elementi $x \in A$ tali che $a\mathscr{R}x$ è detto classe di equivalenza di $a$, e viene indicato con $[a]_{\mathscr{R}}$. In simboli, $$[a]_{\mathscr{R}} = \{ x \in A \text{ }|\text{ }x \mathscr{R}a \}.$$
Sia la relazione di uguaglianza tra numeri reali che quella di congruenza tra figure geometriche sono relazioni di equivalenza. Un altro esempio “celebre” è dato dalla relazione di equivalenza che identifica frazioni equivalenti (cioè, che hanno lo stesso quoto), come $\frac{3}{5}$ e $\frac{6}{10}$: la classe di equivalenza è rappresentata dalla frazione ridotta ai minimi termini (a nessuno verrebbe in mente di utilizzare la scrittura $\frac{17}{34}$ al posto di $\frac{1}{2}$, anche se $ \left [ \frac{17}{34} \right ]_{\mathscr{R}} = \left [ \frac{1}{2} \right ]_{\mathscr{R}}$).
Possono essere fatti esempi leggermente più complicati, come per esempio la relazione $$a \mathscr{R} b \quad \Leftrightarrow \quad \text{le divisioni } a : n \text{ e } b : n \text{ hanno lo stesso resto } r$$ definita in $A = \mathbb{N}$, dove $n$ è un qualsiasi numero naturale. In questo caso, ciascuna classe di equivalenza può essere identificata proprio con ciascun $r$, e solitamente viene chiamata classe di resto modulo $n$.
Definizione
Una relazione $\mathscr{R}$ definita in un insieme $A$ si dice di relazione d’ordine se è contemporaneamente riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Un esempio molto semplice di relazione d’ordine è proprio l’ordine naturale tra numeri reali: ovvero, la relazione “$\leq$” definita in $A = \mathbb{R}$, che costituisce di fatto il “prototipo” sul quale è stata costruita la definizione di relazione d’ordine.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino