La definizione di limite per una funzione reale di variabile reale può essere estesa anche nel caso di funzioni di più variabili. L’idea che sta dietro a questa definizione è in realtà sempre la stessa: vogliamo esprimere il fatto che i valori assunti da una funzione si “avvicinano” a un certo numero, man mano che l’argomento della funzione stessa “tende” a un punto fissato.
Vedremo però che aumentando le dimensioni entro cui lavorare le cose si complicano, almeno da un punto di vista operativo. Infatti, mentre per verificare che esiste il limite per una funzione di una variabile è sufficiente controllare che limite destro e limite sinistro coincidano, qua le direzioni da controllare sono, in un certo senso, “troppe”. Chiariremo il significato di questa frase più avanti, con l’aiuto di qualche esempio.
Prima di cominciare è necessario dare alcune definizioni tecniche che ci permetteranno di gestire più agevolmente il concetto di limite in questo contesto.
Definizione
Consideriamo due punti $X, Y \in \mathbb{R}^n$, con coordinate cartesiane $X \equiv (x_1, \ldots, x_n)$ e $Y \equiv (y_1, \ldots, y_n)$. La distanza euclidea tra $X$ e $Y$ è la quantità $$d(X, Y):= \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \ldots + (x_n - y_n)^2}$$Quando $n \leq 3$, si può facilmente verificare che $d(X, Y)$ coincide con la lunghezza del segmento che congiunge $X$ con $Y$.
Nel corso di questa lezione ci riferiremo alla distanza euclidea chiamandola solamente “distanza”, dato che sarà l’unico tipo di distanza che ci servirà in questo contesto.
Definizione
Prendiamo un punto $X_0 \in \mathbb{R}^n$. Indichiamo con $I_\delta(X_0)$, detto intorno di raggio $\delta$ di $X_0$, l’insieme di tutti i punti di $\mathbb{R}^n$ che distano meno di $\delta$ da $X_0$. In formule: $$I_\delta(X_0) := \{X \in \mathbb{R}^n \ \vert \ d(X_0, X) < \delta \}$$Quando $n=1$ questa definizione coincide con la definizione di intorno completo di raggio delta di un numero reale.
Siamo finalmente pronti ad enunciare la definizione di limite di una funzione di più variabili.
Definizione
Consideriamo una funzione $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ e un punto $X_0 \in \mathbb{R}^n$ che sia di accumulazione per il dominio di $f$. Diremo che $f$ tende a $l$ quando $X$ tende a $X_0$, e scriveremo $$\lim_{X \to X_0} f(X) = l$$quando per ogni intorno $I_\varepsilon(l)$ di $l$ esiste un altro intorno $I_\delta(X_0)$ tale che, comunque scelto un $X \in I_\delta(X_0)$ - assicurandoci che $X$ stia nel dominio di $f$, ed escludendo al più $X_0$ - si abbia che $f(X) \in I_\varepsilon(l)$.
Questa definizione può spaventare un po’, ma dopo un’attenta lettura ci si accorge che non è molto diversa, almeno qualitativamente, dalla definizione di limite già nota in precedenza. Facciamo inoltre alcune considerazioni importanti.
- È necessario richiedere che $X_0$ sia di accumulazione per il dominio di $f$, altrimenti non avremmo speranza di sapere quanto vale $f$ in un generico intorno di $X_0$ (potremmo scegliere un intorno che non contiene elementi del dominio di $f$).
- La definizione che abbiamo dato sottointende che $l$ sia finito. Comunque, possiamo facilmente generalizzare il discorso anche nel caso di limiti infiniti.
- La definizione di funzione continua rimane concettualmente simile a quella che abbiamo visto per funzioni di una variabile: diremo che una funzione di più variabili $f$ è continua in $X_0$ se $\lim_{X \to X_0} f(X) = f(X_0)$. Questa nozione, così come molte altre, rimane quindi del tutto analoga al caso monodimensionale.
Esempio svolto di limite in più variabili
Consideriamo il limite $$\lim_{X \to O} \frac{x^2+4y^2}{x^2 + y^4}$$Vogliamo cioè scoprire come si comporta la funzione $f(x, y) = \frac{x^2+4y^2}{x^2 + y^4}$ intorno all’origine $O$. Innanzitutto notiamo che il dominio della funzione è tutto $\mathbb{R}^2$ esclusa l’origine, quindi non c’è speranza di sostituire $(x, y) = (0, 0)$ nella funzione (come faremmo per una funzione continua in $O$): dobbiamo avvicinarci all’origine e scoprire cosa succede. Ma cosa significa “avvicinarci all’origine”? Seguendo la definizione di limite, dovremmo considerare intorni di $O$ arbitrariamente piccoli (sostanzialmente dei piccoli cerchi nel piano $Oxy$ centrati in $O$) e cercare di capire se c’è un certo $l$ a cui i valori assunti dalla funzione in tali intorni sono sempre più vicini. Nella pratica, però, questo procedimento è quasi infattibile (almeno tanto quanto lo era per funzioni di una variabile reale).
Adottiamo quindi un altro metodo: scegliamo alcuni “percorsi privilegiati” nel piano $Oxy$ che passano per l’origine $O$ e cerchiamo di scoprire come si comporta la funzione lungo quei percorsi, man mano che ci si avvicina a $O$. Questi percorsi potrebbero essere, per esempio, tutte le rette del piano che passano per l’origine (con equazione $y = mx$) o anche le parabole con vertice nell’origine (che hanno equazione $y = ax^2$). In questo modo il limite “bidimensionale” viene ridotto a essere “monodimensionale”, in un certo senso.
Scegliamo ad esempio la retta $y=x$ e vediamo cosa succede se ci avviciniamo a $O$ seguendo questo percorso. Otteniamo: $$\frac{x^2+4y^2}{x^2 + y^4} \xrightarrow{y = x} \frac{x^2+4x^2}{x^2 + x^4} = \frac{5x^2}{x^2+x^4} = \frac{5}{1+x^2} \xrightarrow{x \to 0} 5$$Sembrerebbe quindi che il limite che stiamo cercando sia $5$. Ma se prendiamo la retta $y=\frac{1}{2}x$, risulta: $$\frac{x^2+4y^2}{x^2 + y^4} \xrightarrow{y = \frac{1}{2}x} \frac{x^2+x^2}{x^2 + \frac{1}{16}x^4} = \frac{2x^2}{x^2+\frac{1}{16}x^4} = \frac{2}{1+\frac{1}{16}x^2} \xrightarrow{x \to 0} 2$$C’è qualcosa che non va: lungo due percorsi diversi, o meglio, arrivando a $O$ seguendo due direzioni diverse, abbiamo ottenuto due limiti differenti. Da questo possiamo dedurre che il limite che stiamo cercando non esiste.
Questa situazione è molto simile a quando una funzione di una variabile reale ha limite destro in $x_0$ diverso da limite sinistro in $x_0$: in quel caso si sta proprio guardando i valori assunti dalla funzione “percorrendo due direzioni diverse”. Quando la variabile è una sola, le direzioni lungo cui controllare sono solamente due, “destra” e “sinistra”; ma appena le variabili indipendenti sono anche soltanto due, le direzioni da controllare diventano infinite.
Considerazioni finali sul calcolo dei limiti di funzioni di più variabili
Osservando l’esercizio appena svolto, ci si rende conto che è molto facile mostrare che un limite per una funzione di più variabili non esiste: basta trovare due cammini lungo i quali la funzione tende a due valori distinti.
Tuttavia, dato che i cammini che possiamo scegliere sono potenzialmente infiniti, questo metodo non è assolutamente efficace per mostrare che il limite esiste. In altre parole: non è sufficiente mostrare che la funzione tende allo stesso valore percorrendo un certo numero di cammini per dire che essa ammette limite, perché potrebbe essercene un’infinità lungo i quali la funzione si comporta diversamente.
Ma quindi come possiamo dimostrare che un limite per una funzione di più variabili esiste? E se esiste, come possiamo scoprire che valore ha? Purtroppo non c’è una vera risposta a questa domanda: di volta in volta bisogna inventarsi qualche metodo algebrico o qualche “trucco” per semplificare i conti. Spesso, per esempio, si dovrà ricorrere a qualche sostituzione di variabile che semplifichi la funzione che si sta studiando (la tecnica più comune, per le funzioni di due variabili, è il passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari).