Intervalli ed intorni; punto di accumulazione di un insieme

Nell’ambito della Geometria Euclidea, abbiamo definito come segmento l’insieme dei punti su una retta che è compreso tra due punti, detti estremi. Lo stesso ragionamento può essere fatto passando al contesto dell’Analisi Matematica, considerando dei segmenti sulla retta reale.

Definizione

Chiamiamo intervallo chiuso di estremi $a$ e $b$ l’insieme dei numeri reali maggiori o uguali di $a$ e minori o uguali di $b$, ovvero il segmento sulla retta reale che ha per estremo sinistro il numero $a$ e per estremo destro il numero $b$. In simboli scriviamo così: $[a, b] = \left \{ x \in \mathbb{R} \ \big | \ a \leq x \leq b \right \}$

La definizione che abbiamo appena dato parla di intervallo “chiuso”. In effetti possiamo parlare anche di altri tipi di intervalli, che si differenziano da quello appena definito.

Definizione

Un intervallo aperto di estremi $a$ e $b$ è l’insieme dei numeri reali strettamente maggiori di $a$ e strettamente minori di $b$. In simboli: $(a, b) = \left \{ x \in \mathbb{R} \ \big | \ a < x < b \right \}$ 

Facciamo due osservazioni importanti.

• Un intervallo aperto di estremi $a$ e $b$ è diverso dall’intervallo chiuso con gli stessi estremi, perché al suo interno non sono presenti $a$ e $b$. Quindi un intervallo aperto non è un segmento in senso euclideo.
• Quando vogliamo indicare che un estremo di un intervallo non è compreso all’interno dell’intervallo stesso, si usano in genere le parentesi tonde. A volte, tuttavia, per indicare un intervallo aperto $(a, b)$ si usa anche la notazione $]a, b[$: l’uso delle parentesi quadre “al contrario” serve a sottolineare maggiormente la differenza tra l’intervallo aperto e l’intervallo chiuso.

Definizione

Un intervallo chiuso a sinistra di estremi $a$ e $b$ è l’insieme dei numeri reali maggiori o uguali di $a$ e strettamente minori di $b$. In simboli: $[a, b) = \left \{ x \in \mathbb{R} \ \big | \ a \leq x < b \right \}$Un intervallo chiuso a destra di estremi $a$ e $b$ è l’insieme dei numeri reali strettamente maggiori di $a$ e minori o uguali di $b$. In simboli: $(a, b] = \left \{ x \in \mathbb{R}\ \big | \ a < x \leq b \right \}$ 

Anche le semirette che giacciono sulla retta reale possono essere rappresentate utilizzando il linguaggio degli intervalli. 

Definizione

Un intervallo chiuso a sinistra e illimitato superiormente con estremo $a$ è la semiretta con origine $a$ e costituita da tutti i numeri reali maggiori di $a$. In simboli: $[a, + \infty ) = \left \{ x \in \mathbb{R} \ \big | \ x \geq a \right \}$Un intervallo chiuso a destra e illimitato inferiormente con estremo $a$ è la semiretta con origine $a$ e costituita da tutti i numeri reali minori di $a$. In simboli: $(- \infty, a ] = \left \{ x \in \mathbb{R}\ \big | \ x \leq a \right \}$In maniera analoga possiamo definire il concetto di intervallo aperto a destra (o a sinistra) illimitato superiormente (o inferiormente), escludendo l’estremo $a$ dall’intervallo chiuso illimitato prima definito. Possiamo scrivere intervalli di questo tipo in questo modo: $(a, + \infty ), \qquad (- \infty, a)$Concludiamo questo paragrafo sottolineando che l’unico intervallo illimitato sia superiormente che inferiormente è $(- \infty, + \infty)$, che corrisponde all’intera retta reale.

Intorno di un punto

Consideriamo un numero $x_0 \in \mathbb{R}$ rappresentato sulla retta reale. Come possiamo definire matematicamente il concetto di “vicinanza” al punto $x_0$?

Definizione

Chiamiamo intorno aperto completo di $x_0$ di raggio $\varepsilon$, o più semplicemente intorno di $x_0$ di raggio $\varepsilon$, l’intervallo aperto $(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)$Questo insieme è costituito dai numeri $x \in \mathbb{R}$ tali che la loro distanza da $x_0$ sia minore di $\varepsilon > 0$, e si può indicare con le notazioni $B_{\varepsilon}(x_0)$, $I_{\varepsilon}(x_0)$. La definizione può essere espressa in questo modo in simboli: $B_{\varepsilon}(x_0) = \left \{ x \in \mathbb{R} \ \big | \ |x-x_0| < \varepsilon \right \}, \quad \varepsilon > 0.$

Nella definizione che abbiamo dato di intorno abbiamo implicitamente chiamato “distanza” da $x_0$ il numero $|x-x_0|$, che in effetti corrisponde al concetto di distanza che utilizziamo di solito; $|x-x_0|$ è infatti la lunghezza del segmento sulla retta reale che ha per estremi $x$ e $x_0$.

In ogni caso, l’intorno è proprio quello che ci serve in matematica per definire l’idea di punto “vicino” a $x_0$: una volta stabilito un valore $\varepsilon >0$ che rappresenta il limite entro il quale un numero possa considerarsi “vicino” a $x_0$, allora l’insieme dei numeri “vicini” a $x_0$ è proprio $B_{\varepsilon}(x_0)$.

Possiamo introdurre anche altri tipi di intorno, le cui definizioni differiscono da quella appena data per alcuni piccoli ma fondamentali particolari.

Definizione

Un intorno chiuso completo di $x_0$ di raggio $\varepsilon$ è l’intervallo chiuso $[x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon]$cioè l’insieme dei numeri reali che distano al massimo $\varepsilon$ da $x_0$. In formule:$\overline{B_{\varepsilon}(x_0)} = \left \{ x \in \mathbb{R} \ \big | \ |x-x_0| \leq \varepsilon \right \}.$

Definizione

Un intorno sinistro di $x_0$ di raggio $\varepsilon$ è l’intervallo aperto $(x_0 - \varepsilon, x_0)$cioè l’insieme dei numeri reali minori di $x_0$ che distano al massimo $\varepsilon$ da $x_0$. In formule:$B_{\varepsilon}^{-}(x_0) = \left \{ x \in \mathbb{R}, x < x_0 \ \big | \ |x-x_0| < \varepsilon \right \}.$

Definizione

Un intorno destro di $x_0$ di raggio $\varepsilon$ è l’intervallo aperto $(x_0, x_0 + \varepsilon)$cioè l’insieme dei numeri reali maggiori di $x_0$ che distano al massimo $\varepsilon$ da $x_0$. In formule:$B_{\varepsilon}^{+}(x_0) = \left \{ x \in \mathbb{R}, x > x_0 \ \big | \ |x-x_0| < \varepsilon \right \}.$

Per il momento abbiamo parlato solo di intorni di $x_0 \in \mathbb{R}$, ma possiamo estendere le definizioni appena date per definire un intorno di $\infty$.

Definizione

Chiamiamo intorno sinistro di infinito un intervallo del tipo $(a, + \infty)$ dove $a$ è un qualsiasi numero reale. Analogamente chiamiamo intorno destro di infinito un intervallo del tipo $(- \infty, b)$ dove $b$ è un qualsiasi numero reale.
In generale, invece, un intorno di infinito è l’unione di un intorno sinistro e di un intorno destro di infinito, ed è quindi un insieme del tipo $(-\infty, b) \cup (a, +\infty), \qquad a, b \in \mathbb{R}.$

Una prima applicazione del linguaggio degli intorni: i punti di accumulazione

Tutta la terminologia che abbiamo introdotto fino ad adesso serve per rendere alcune definizioni matematiche leggermente più “intuitive”. Una di queste situazioni è la seguente.

Definizione

Consideriamo un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$. Diremo che $x \in \mathbb{R}$ è un punto di accumulazione per $A$ se ogni intorno di $x$ contiene almeno un elemento di $A$ diverso da $x$ stesso.
L’insieme dei punti di accumulazione di $A$, detto insieme derivato di $A$, si indica con $A’$. In simboli, possiamo descrivere $A’$ in questo modo: $A’ = \left \{ x \in \mathbb{R}\ \big | \ \forall B_{\varepsilon}(x) \ \exists a \in A : a \in B_{\varepsilon}(x), a \neq x \right \}$

Vediamo che la definizione di punto di accumulazione - nonostante possa essere espressa in maniera molto tecnica - ha una formulazione abbastanza semplice se utilizziamo il concetto di intorno di un punto. L’idea che si vuole trasmettere è infatti questa: un punto $x$ è di accumulazione per $A$ se esiste sempre un punto di $A$ (diverso da $x$) che è vicino quanto si vuole a $x$.

Facciamo alcune osservazioni ed esempi.

• Un punto di accumulazione per $A$ non deve appartenere per forza ad $A$. Per esempio, prendiamo l’insieme $A = \left \{ a \in \mathbb{R}\ \big | \ a = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \right \}$Questo insieme ammette come punto di accumulazione $x = 0$: infatti, comunque scelto un intorno $B_\varepsilon(0) = (-\varepsilon, \varepsilon)$ possiamo trovare un $n$ tale che $\frac{1}{n} < \varepsilon$ (basta scegliere $n > \frac{1}{\varepsilon}$). Inoltre, $0 \not \in A$, dato che nessuna frazione del tipo $\frac{1}{n}$ può essere uguale a $0$.
  
• Ciascun punto interno a un intervallo in $\mathbb{R}$ è di accumulazione per l’intervallo stesso, e anche gli estremi dell’intervallo lo sono (sia che l’intervallo sia aperto o chiuso).
• Per mostrare che un punto $x$ non è punto di accumulazione per $A$, è sufficiente mostrare che esiste anche un solo intorno $B_\varepsilon(x)$ di $x$ per cui la definizione non vale (cioè, per cui non ci siano elementi di $A$ al suo interno). Infatti la condizione presente nella definizione deve valere per ogni scelta di un intorno di $x$! È estremamente importante tenere presente questa osservazione quando si svolgono gli esercizi su questo argomento.