In questo video analizziamo il caso in cui si debba derivare una funzione esprimibile nella forma
$$ h(x) = f(x) ^{g(x)}$$
come ad esempio $x^x$ o $\sin(x)^{\cos(x)}$.
In questo caso, la funzione non è né una potenza né un’esponenziale, in quanto sia base che esponente dipendono dalla variabile indipendente $x$: non possiamo quindi usare regola di derivazione delle funzioni potenza o esponenziale. Occorre allora riscrivere la funzione in una forma diversa, equivalente a quella data ma che risulti più semplice da derivare.
Si ricorre, così, all'esponenziale e al logaritmo in base $e$, l’una inversa dell’altra: difatti, vale
$h(x) = f(x) ^{g(x)} = e ^{(\ln (f(x)))^{g(x)}} = e^{g(x) \ \cdot \ln (f(x))}$, in virtù delle proprietà delle potenze. Dunque, sfruttando la regole di derivazione per le funzioni composte e per il prodotto di funzioni, si perviene al risultato corretto
$$ h’(x) = e^{g(x) \ \cdot \ln (f(x))} \cdot \left( g(x) \ln(f(x)) \right)’ = f(x)^{g(x)} \left( g(x) \ln(f(x)) \right)’ =$$
$$ = f(x)^{g(x)} \cdot \left( g’ \ln(f) + \frac{g(x) f’(x)}{f(x)} \right)$$
Anche se la formula generale sembra piuttosto complicata, gli esempi mostrati in video ne chiarificano l’applicazione.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math.