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Derivate delle funzioni elementari: costanti, potenze e radici

In questo video si calcola la funzione derivata prima di alcune funzioni elementari: la funzione costante, la funzione potenza e la funzione radice (considerata come una potenza a esponente frazionario). Per il calcolo si sfrutta la definizione di derivata: si determina, cioè, il limite del rapporto incrementale quando l’incremento della variabile indipendente $x$, $h$, tende a zero, ossia
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 + h)}{h}$$
Per effettuare questi calcoli è necessario conoscere tecniche algebriche basilari e l’algebra dei limiti. Ecco un elenco dei risultati ottenuti:

  1. Se $f (x) = k$ costante, $\Rightarrow f’(x) = 0$
  2. Se $n \in \mathbb N$ e $f (x) = x^n$, $\Rightarrow f’(x) = n \ x^{n-1}$
  3. Se $\alpha \in \mathbb R$ e $f(x) = x^{\alpha}$, $\Rightarrow f’(x) = \alpha \ x^{\alpha - 1}$

Ad esempio, se $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, vale $f’(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

La funzione derivata prima $f’$ è la legge che associa a ogni punto $x$ di un insieme la derivata della funzione $f$ nel punto $x$. Si può calcolarla quando la $f$ è derivabile in tutti i punti del dominio.

In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math.