Mediante lo studio del segno della derivata di una funzione $f(x)$ è possibile conoscerne la monotonia, ovvero dove essa è crescente o decrescente.
DEFINIZIONE
Una funzione $f$ è detta monotona crescente su un insieme $A \subset \mathbb{R}$ quando comunque presi due punti $x_1$ e $x_2$ in $A$ vale: $$ \forall x_1, x_2 \in A, \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$$
Per fissare le idee osserviamo il seguente grafico:
ogni volta che $x_1$ ha un valore inferiore a $x_2$ (cioè è più a sinistra), l'immagine $f(x_1)$ è più piccola (cioè più bassa) di $f(x_2)$.
Allo stesso modo diciamo che $f$ è monotona decrescente su un insieme $A \subset \mathbb{R}$ quando presi due punti $x_1$ e $x_2$ in $A$ vale:
$$\forall x_1, x_2 \in A, \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$$ossia l’immagine $f(x_1)$ del punto più a sinistra $x_1$ è maggiore, cioè più alta, dell’immagine $f(x_2)$ del punto più a destra $x_2$.
A volte si omette l’insieme su cui la funzione si intende crescente o decrescente. In questi casi si intende che la funzione assume quel comportamento su tutto il suo dominio. Ad esempio, possiamo affermare che la funzione esponenziale $f (x) = e^{x}$ è una funzione crescente, anche se sarebbe corretto affermare che l’esponenziale è crescente su $\mathbb{R}$.
Bisogna sottolineare che si può dire solamente che una funzione è monotona, senza specificare se essa sia crescente o decrescente. Questa terminologia è utilizzata per indicare che, in generale, la funzione ha sempre "lo stesso andamento" su tutto il suo dominio; ovvero, sarà sempre crescente o sempre decrescente (a meno di escludere eventuali punti in cui la funzione non è né crescente né decrescente).
Abbiamo a disposizione una condizione sufficiente che ci garantisce di determinare quando una funzione sia crescente o decrescente:
PROPOSIZIONE
Supponiamo che una funzione $f$ sia definita e continua su un intervallo $I \subset \mathbb{R}$ e derivabile in ogni punto interno di $I$: allora dove la derivata è positiva la funzione è crescente, mentre dove è negativa, la funzione è decrescente. In simboli: $ f’(x) > 0 \ \forall x \in I \Rightarrow $ $f$ crescente su $I$, $ f’(x) < 0 \ \forall x \in I \Rightarrow $ $f$ decrescente su $I$.
Quindi ciò che dobbiamo fare, una volta calcolata la derivata, è studiarne il segno, ovvero stabilire dove la derivata di $f$ assume valori positivi e dove negativi. Per fare questo si risolve di solito la disequazione $ f’(x) \geq 0 $: la soluzione di questa disequazione indicherà gli intervalli dove la funzione ha derivata positiva o nulla, mentre il suo complementare all’interno del dominio sarà l’insieme di intervalli in cui la funzione ha derivata negativa.
Per esempio, possiamo affermare che la funzione esponenziale $$f (x) = e^{x}$$ è crescente su $\mathbb{R}$ poichè è definita, continua e derivabile su tutto $\mathbb{R}$ e la sua derivata $f’ (x) = e^{x}$ è positiva su tutto $\mathbb{R}$.
Facciamo un altro esempio. Stabiliamo come si comporta la funzione $$ f(x) = x^3 + 2x^2 + 3$$
Notiamo innanzitutto che il suo dominio è $\mathbb{R}$ (che è un intervallo) ed è ovunque continua e derivabile.
Calcolando la derivata otteniamo $$f'(x) = 3x^2 + 4x = x(3x + 4) $$
A questo punto per studiarne il segno dobbiamo risolvere la disequazione $f' \geq 0$, ovvero nel nostro caso $$x(3x+4) \geq 0$$
Otteniamo così che la derivata è nulla in $x=0$ e $x=-\frac{4}{3}$, positiva per $x < -\frac{4}{3}$ e per $x > 0$, negativa per $-\frac{4}{3} < x < 0$.
Possiamo concludere allora che la funzione $y=x^3+2x^2+3$ è crescente per $x < -\frac{4}{3}$ e per $x > 0$, mentre è decrescente per $-\frac{4}{3} < x < 0$ come possiamo verificare osservando il grafico della funzione che è tracciato nella figura seguente.
Bisogna però prestare attenzione, quando studiamo il segno della derivata. Ci sono infatti parecchie condizioni che devono essere soddisfatte perché il segno della derivata fornisca informazioni utili: l’insieme considerato deve essere un intervallo, e la funzione deve essere definita e continua su tutto l’intervallo.
Consideriamo due casi in cui non sono soddisfatte alcune di queste condizioni.
Prendiamo come primo esempio $$ f(x) = -\frac{1}{x} $$ la cui derivata è $f’(x) =\frac{1}{x^2}$, che è positiva per tutti gli $x \neq 0$, ovvero per tutti gli $x$ dove la funzione è definita. Quindi la funzione è crescente nei due intervalli $x < 0$ e $x > 0$. Ha senso dire che $f$ è crescente su tutto $\mathbb{R}$? Se prendiamo $x = -1$ e $ x = 1 $ ci accorgiamo che, a un primo sguardo, non viene soddisfatta la condizione che definisce una funzione crescente: $f(-1)=1$, $f(1)=-1$, e quindi non è vero che $f(-1) < f(1)$. Il problema diventa evidente se facciamo riferimento al grafico della funzione:
Quel che accade è che la funzione non è definita in $x = 0$: la condizione “la derivata è positiva quindi la funzione è crescente” è valida solo su un intervallo, mentre in questo caso il dominio della funzione è $(- \infty, 0) \cup (0, +\infty)$, che non è un intervallo, ma due intervalli disgiunti. Non possiamo quindi affermare che la funzione $- \frac{1}{x}$ è “crescente” in assoluto, sebbene la sua derivata sia, ovunque sia definita, strettamente positiva; possiamo invece correttamente affermare che $f$ è crescente su $(- \infty, 0)$ e crescente su $(0, +\infty)$.
Come secondo esempio, consideriamo la funzione definita a tratti $$ g(x) = \begin{cases} 3x^3 & 0 \leq x \leq 1 \\ \sqrt{x} & x >1 \end{cases} $$La sua derivata è $ g’(x) = 9 x^2 $ per $0 \leq x < 1$ e $g’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ per $x > 1$; essendo uno un quadrato e l’altro una radice quadrata, si tratta sempre di quantità positive, quindi la funzione ha derivata positiva ovunque sia derivabile. Tuttavia, $g(1) = 3 > \sqrt{3} = g(3)$, nonostante $1 < 3$; questo è dovuto al fatto che la funzione non è continua in $x = 1$, come si evince dal calcolo dei limiti destro e sinistro, o dal grafico sottostante.
