equazioni/disequazione miste

Il termine a sinistra è composto da una divisione e un prodotto di tre termini (|(x-2)|, (x-2), ln(x-1) ). Il segno di questo termine sarà determinato dal segno dei tre termini secondo la regola dei segni (che è identica per prodotti e divisioni). Dunque il termine a sinistra sarà negativo, quando i tre termini saranno tutti e tre oppure uno soltanto, negativi (ricorda che un numero dispari di segni -, rende il prodotto/divisione di questi,negativo). A questo punto basta determinare i segno dei tre termini separatamente e verificare il segno del loro prodotto nei vari intervalli dell'asse reale, Spero di essere stata abbastanza chiara. Ciao

ho il grafico davanti a me di quella funzione però non corrispondono la parte positiva con quella negativa(sul grafico) perchè??? - Angela Rossi 04 Gennaio 2016

Procediamo con ordine considerando il segno dei tre termini. |x-2| è sempre positivo, per definizione di modulo. (x-2) >0 per x>2. Ln(x-1) >0 per x-1>1 dunque per x>2 ( considera inoltre che x deve essere >1 visto che l'argomento del logaritmo deve essere positivo). Dunque gli unici due termini della disequazione che concorrono a determinare il segno (visto che il modulo è sempre positivo, dunque ininfluente in questo caso), sono entrambi positivi per x>2 e negativi per x<2 risulterà che il termine a sinistra sarà definito soltanto per le x>1 e sarà sempre positivo. Cosa intendi con "non corrispondono la parte positiva con quella negativa(sul grafico) "? - Donatella Menconi 04 Gennaio 2016

Scusa, mi son resa conto che l'ultima parte della risposta è incomprensibile. Intendevo dire che visto che gli unici due termini della disequazione che concorrono a determinare il segno sono entrambi positivi per x>2 e negativi per x compreso tra 1 e 2, il termine a sinistra della disequazione sarà sempre positivo e dunque la disequazione sarà sempre verificata per ogni x>1 tale che x<>2 - Donatella Menconi 04 Gennaio 2016

Ciao Angela! Come ha già detto correttamente Donatella, una disequazione in cui compare il prodotto o il rapporto di più fattori si risolve nel modo seguente: 1) Si pongono le condizioni di esistenza 2) Si studia il segno di ciascun fattore, senza prestare attenzione al segno della disequazione che dobbiamo risolvere 3) Si riassumono tutti i segni in uno schema, e mediante la regola dei segni si calcola il segno complessivo 4) Si confronta lo schema ottenuto al precedente con il segno richiesto dalla disequazione 5) Si escludono dalla soluzione gli eventuali valori che fanno conflitto con le condizioni di esistenza. Ti rimando ad alcuni contenuti in cui si usa questo schema risolutivo: questo https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html e questo https://library.weschool.com/lezione/equazioni-disequazioni-parametriche-irrazionali-condizioni-di-esistenza-esercizi-svolti-15840.html. Nel tuo caso, dobbiamo risolvere la disequazione $$ \frac{|x-2|}{x-2} \ln \left( x-1 \right) > 0 $$Prima di tutto, le condizioni di esistenza ci dicono che $x \neq 2$ (per la presenza della frazione algebrica) e che $ x > 1$ (per il logaritmo). I fattori sono tre, $| x-2|$, $x-2$ e $\ln (x - 1)$. Il segno di $|x-2|$ è sempre positivo, tranne che per $x=2$ che vale $0$; gli altri due fattori hanno entrambi segno negativo per $x < 2$ (ma ricordiamoci che deve essere comunque $x > 1$) ed entrambi segno positivo per $x > 2$. In definitiva, la nostra espressione, ovunque esiste, è sempre positiva: la disequazione ci chiede proprio quando la nostra espressione è $> 0$! Quindi la soluzione è... ovunque l'espressione è definita, cioè per $x > 1$ e $x \neq 2$. Spero di essere stato chiaro! Ciao e buona giornata :3