Esercizio

Ciao Antonio! Il limite che proponi si presenta nella forma indeterminata $1^\infty$. Per "sciogliere" la forma indeterminata occorre scrivere il limite in modo diverso. La funzione è del tipo $f(x)^{g(x)}$, una funzione elevata a un'altra funzione: nel tuo caso $f(x)=1+\tan \left ( \frac{3}{x} \right ) $ e $g(x)=x$. Si sfrutta la seguente identità: $f(x)^{g(x)}=e^{\ln[f(x)^{g(x)}]}$. La funzione di cui devi calcolare il limite diventa così: $$e^{\ln \left [ 1+\tan \left ( \frac{3}{x} \right ) \right ]^{x}}=e^{x\cdot \ln \left [ 1+\tan \left ( \frac{3}{x} \right ) \right ] }$$Dato che $$\lim_{x \to \infty} e^{(\ldots )} = e^{\lim_{x \to \infty} (\ldots)}$$ci resta da calcolare solo il limite dell'esponente, che si presenta nella forma indeterminata $0 \cdot \infty$. Si fa una seconda trasformazione portando la $x$ al denominatore (diventa $\frac{1}{x}$). Adesso il limite all'esponente è nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Applica il teorema di de l'Hopital (lo trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/descrivere-teorema-de-l-hopital-risolvere-esercizi-geometria-9655.html )... alla fine l'esponente tende a $3$. La tua funzione tende quindi a $e^3$. Se ti occorre un ripasso generale sui limiti segui questo link: https://library.weschool.com/corso/limiti-di-funzione-9660.html. Ciao! r

Ciao Antonio. Rita ha già risposto al tuo problema spiegandoti come si svolge, ma vorrei suggerirti un altro metodo che non fa uso del teorema di de l'Hopital, ma dei limiti notevoli (ecco qui la lista di quelli principali: https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html). Ripartiamo da qui: $$e^{x\cdot \ln \left [ 1+\tan \left ( \frac{3}{x} \right ) \right ] }$$e manipoliamo l'esponente moltiplicando e dividendo per $\tan \left ( \frac{3}{x} \right )$: $$x\cdot \ln \left [ 1+\tan \left ( \frac{3}{x} \right ) \right ] = x \cdot \frac{\ln \left [ 1+\tan \left ( \frac{3}{x} \right ) \right ]}{\tan \left ( \frac{3}{x} \right )} \cdot \tan \left ( \frac{3}{x} \right )$$Il termine centrale di questa moltiplicazione è un limite notevole generalizzato per $x \to \infty$, e tende a $1$. Quindi l'esponente tende semplicemente a $x \cdot \tan \left ( \frac{3}{x} \right )$ che possiamo ancora sistemare così: $$x \cdot \tan \left ( \frac{3}{x} \right ) = 3 \cdot \frac{\tan \left ( \frac{3}{x} \right )}{\frac{3}{x}}$$L'espressione di destra è di nuovo un limite notevole generalizzato, che tende a $1$: ecco quindi che l'esponente tende complessivamente a $3$. Spero che questo spunto possa esserti utile :) Ciao!