Esponenziali

Ciao Gaia. Bella domanda la tua! È un po’ che non facevo un esercizio di questo genere :D Il metodo che userò per dimostrare che $N(k)$ è divisibile per $8$, indipendentemente dal $k$ intero che si sceglie, è il cosiddetto metodo di induzione, che trovi spiegato qui: https://library.weschool.com/lezione/principi-di-induzione-e-ricorsione-matematica-definizioni-e-primi-esempi-2443.html. Il procedimento della dimostrazione consisterà quindi di due passi: 1) mostrare che per $k=1$ la proprietà richiesta è valida; 2) assumendo vera la proprietà per $k$ generico, dimostrare che è vera anche per $k+1$. Procediamo dunque con il primo passo. Vediamo che $$N(1) = 5^1 + 2 \cdot 3^0 + 1 = 5+2+1 = 8$$che è chiaramente divisibile per $8$: quindi abbiamo completato col successo il passo 1. Continuiamo adesso con il passo 2: per prima cosa supponiamo che $N(k)$ sia divisibile per $8$, o in altre parole che la quantità $$5^k + 2 \cdot 3^{k-1} + 1$$sia divisibile per $8$, una volta fissato un certo $k$. Prendiamo la nostra espressione, calcolata in $k+1$: $$N(k+1) = 5^{k+1} + 2 \cdot 3^{(k+1)-1} + 1 = 5^{k+1} + 2 \cdot 3^k + 1$$Con qualche “trucco” vogliamo dimostrare che anche questa quantità è divisibile per $8$, utilizzando anche il fatto che $N(k)$ è divisibile per $8$. Innanzitutto scrivo così: ##KATEX##\begin{aligned} 5^{k+1} + 2 \cdot 3^k + 1 & = 5 \cdot 5^{k} + 2 \cdot 3 \cdot 3^{k-1} + 1 = \\ & = 3 \cdot 5^k + 2 \cdot 5^k + 3 \cdot \left ( 2 \cdot 3^{k-1} \right ) + 3 - 2 = \\ & = 3 \cdot \left (5^k + 2 \cdot 3^{k-1} + 1 \right ) + 2 \cdot 5^k - 2 = \\ & = 3 \cdot N(k) + 2 \cdot \left ( 5^k - 1 \right ) \end{aligned}##KATEX##Tutti i calcoli che abbiamo fatto sono serviti a cercare di esplicitare $N(k)$: ci siamo riusciti, ma al “prezzo” di ritrovarci con un altro termine, che in questo caso è $A(k) = 2 \cdot \left ( 5^k - 1 \right )$. Se riuscissimo a dimostrare che $A(k)$ è divisibile per $8$, il problema sarebbe finito: infatti in tal caso $N(k+1)$ sarebbe ottenuto come somma di due termini divisibili per $8$, e pertanto sarebbe anch’esso divisibile per $8$. Ma come facciamo a dimostrare che $8$ divide $A(k)$? Innanzitutto notiamo che, siccome $A(k) = 2 \cdot \left ( 5^k - 1 \right )$, è sufficiente dimostrare che $B(k) = 5^k - 1 $ sia divisibile per $4$ per ottenere che $A(k)$ sia divisibile per $8$. Per dimostrare che $B(k)$ è divisibile per $4$ bisogna, ancora una volta, procedere per induzione. Al passo 1 otteniamo $$B(1) = 5^1 - 1 = 4$$che è divisibile per $4$; al passo 2 supponiamo che $B(k)$ sia divisibile per $4$ e otteniamo ##KATEX##\begin{aligned} B(k+1) & = 5^{k+1} - 1 = 5 \cdot 5^k - 1 = \\ & = 5 \cdot 5^k - 5 + 4 = \\ & = 5 \cdot (5^k - 1) + 4 = 5B(k) + 4 \end{aligned}##KATEX##Si vede quindi che, dato che $B(k)$ è divisibile per $4$, anche $B(k+1)$ lo è! Da questo quindi discende che $A(k)$ è divisibile per $8$, e quindi che $N(k+1)$ è divisibile per $8$, come volevamo dimostrare. Che fatica, eh? :) Il procedimento è un po’ lungo e richiede molta dimestichezza con il principio di induzione, le proprietà dei numeri interi e tanta abilità con i “trucchi” algebrici: spero che tutto sia comprensibile, ma se hai qualsiasi domanda, fammelo sapere tranquillamente. Ciao, a presto!

Ti ringrazio, davvero, sei stato chiarissimo ed esauriente! :) - Gaia Tempo 04 Settembre 2015

Di niente :D - Michele Ferrari 04 Settembre 2015