Estremo superiore e inferiore di insieme numerico

Ciao Andrea! Trovare l'estremo inferiore o superiore di un insieme numerico non è in generale facile e non c'è un metodo generale da seguire. Sicuramente, sostituire tutti i valori di $n \in \mathbb{N}$ non è una buona idea, innanzitutto perché i numeri sono infiniti, e nemmeno un computer potrebbe controllarli tutti! Inoltre ciò che è vero per una quantità enorme di numeri magari viene invalidato da un unico valore. Ci sono due strade che possiamo seguire in questo caso. Primo, possiamo farci un'idea di come si sviluppa l'insieme numerico andando a considerare la funzione $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ definita come nella definizione dell'insieme, $ f(x) = \frac{x-1}{x} $: su questa funzione possiamo usare tutti gli strumenti dell'analisi matematica (come tutti quelli che ricordiamo qui https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html), e poi limitare la nostra indagine solo sui valori che assume su $\mathbb{N}$. In questo modo possiamo, ad esempio, scoprire che essa è crescente per $x > 0$, che in $x=1$ vale $0$ e che il suo limite per $x\to +\infty$ è $1$. Altrimenti, possiamo accorgerci che la frazione $\frac{n-1}{n}$ è sempre positiva (numeratore e denominatore sono $> 0$) tranne per $n=1$, in cui vale $0$: e questo ci suggerisce che l'estremo inferiore è $0$! inoltre, sappiamo dall'aritmetica di base che $n > n-1$, e che quindi, dividendo entrambi i membri per $n$, $1 > \frac{n-1}{n}$, il che ci suggerisce che il $\text{sup}$ potrebbe essere $1$. Per trasformare tutti questi condizionali in indicativi, abbiamo bisogno di provare che $0$ e $1$ soddisfano la definizione di estremo inferiore o superiore: ma questo è solo un semplice controllo di due disuguaglianze. In definitiva, il ragionamento da seguire è questo: usare strumenti ad hoc per trovare dei buoni candidati per $\text{inf}$ e $\text{sup}$; successivamente, usare la definizione per vedere effettivamente se i nostri candidati sono quello che promettono. Spero sia tutto chiaro! Se hai qualsiasi dubbio, chiedi pure :3 Ciao e buona giornata.