Fattorizzazione polinomi

Ciao Andrea! Fattorizzare un polinomio significa scriverlo come prodotto di fattori (per l'appunto) irriducibili, ovviamente di grado inferiore. Un polinomio è irriducibile quando non può essere scritto come prodotto di due o più fattori di grado inferiore. Qui puoi trovare un po' di esempi di polinomi e loro scomposizioni: https://library.weschool.com/lezione/scomporre-polinomi-con-fattor-comune-prodotti-notevoli-10715.html. Problema: non siamo più in $\mathbb{R}[x]$, ma in $\mathbb{Z}_3[x]$. In questo caso, alcuni prodotti notevoli non funzionano più o si scrivono in modo diverso. Continuano però a valere le proprietà del prodotto e della somma di polinomi. In particolare, possiamo usare il raccoglimento parziale: come spiegato in questa lezione https://library.weschool.com/lezione/scomposizione-polinomi-raccoglimento-parziale-totale-fattor-comune-14938.html, non si tratta di altro che la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma. Così, raccogliendo $(x+2)$ otteniamo$$x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x+2)(x^2) + x+2 = (x+2)(x^2 +1)$$Ora, per questioni di grado, $x+2$ è sicuramente irriducibile. Ma $x^2 + 1$? In assenza di teoremi, possiamo sempre provare a scriverlo come prodotto di due polinomi (generici) di grado $1$ e vedere un po' che cosa succede. Diciamo che $x^2 +1 = (ax + b) (cx +d)$; allora, siccome $(ax + b) (cx +d) = (ac)x^2 + (ad + bc)x + bd$ e quindi vogliamo che $(ac)x^2 + (ad + bc)x + bd = x^2 +1 $, deve valere il sistema per i coefficienti$$ \begin{cases} ac \equiv_3 1 \\ ad + bc \equiv_3 0 \\ bd \equiv_3 1 \end{cases}$$La prima e la terza equivalenza ci dicono che $a$, $c$, $b$ e $d$ non possono essere $0$ ($\mathbb{Z}_3$ non ha divisori dello zero...), e che, inoltre, $a \equiv_3 c$ e $b \equiv_3 d$: questo perché l'inverso di $2$ modulo $3$ è ancora $2$, e l'inverso di $1$ è comunque $1$. Ma ora, sostituendo nella seconda equivalenza del sistema, otteniamo$$ 2 \cdot ab \equiv_3 0$$Questa implica che o $a$ o $b$ sono proprio $0$: ma ciò non può accadere per quanto detto prima. Di conseguenza, $x^2 +1$ è irriducibile in $\mathbb{Z}_3[x]$, e la fattorizzazione cercata è proprio $(x+2)(x^2 +1)$. Spero tutti i passaggi siano chiari! Fammi sapere. Ciao e buona serata :D