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Ciao Albi! Questo problema si può risolvere, con un po' di ingegno, applicando l'equazione che lega momento meccanico $\vec{M}$ e momento angolare $\vec{L}$:$$ \vec{M} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$$Puoi trovare una lettura più approfondita a questo indirizzo: https://library.weschool.com/lezione/momento-angolare-momento-inerzia-momento-della-quantita-di-moto-14813.html; in parole povere, il momento delle forze è pari alla variazione del momento angolare fratto il tempo che questo impiega a cambiare. Permettimi di riscrivere l'equazione precedente in una forma che ci è più utile:$$ M \Delta t = \Delta L$$Analizziamo ciascun membro di questa equazione. $\Delta t$ è il tempo che la catena impiega a svolgersi. Il momento meccanico $\vec{M}$, che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/momento-della-forza-momento-meccanico-coppia-di-forze-corpo-rigido-fisica-14815.html, è pari a $\vec{r} \times \vec{F}$, dove $r$ è il raggio della rotazione ed $F$ è la forza applicata. Nel nostro caso, $r$ è quello della spola, che rimane costante, ed $F$ è il peso della catena che pende dalla spola, che invece si modifica nel tempo, in quanto man mano che la catena si srotola, la massa pendente aumenta. Riscriviamo il membro a sinistra dell'equazione per ovviare a questo inconveniente: da $M \Delta t$ passiamo a $r \ m g \ \Delta t$, dove, ancora una volta, $m$ varia nel tempo. Indipendentemente da come aumenti questa massa $m$, tuttavia, il prodotto $m \Delta t$ rappresenta la quantità di massa che, dopo $\Delta t$ secondi, si trova pendente dalla spola: chiamiamo questa quantità $\Delta m$. Siccome abbiamo la densità lineare $\lambda$ della catena, se questa si allunga di $\Delta l$ metri, avremo un incremento di massa pari a $\Delta m = \lambda \Delta l$. Nel nostro caso, $\lambda = 3 \text{ kg}/\text{m}$ e $\Delta l = 5 \text{ m}$. In definitiva, il membro a sinistra dell'equazione diventa $ r g \lambda \Delta l$. Parliamo adesso del membro a destra dell'equazione. Qui abbiamo $\Delta L$: ovvero la differenza tra momento angolare alla fine (quando sono svolti 5 metri di catena) e momento angolare all'inizio (quando ne abbiamo solo uno). Sappiamo che all'inizio la spola è ferma: la sua velocità angolare è $0$ e dunque, indipendentemente dal suo momento di inerzia, il momento angolare iniziale è $0$ anche lui. Chiamiamo il momento angolare finale $L_f$, e riscriviamo l'equazione iniziale:$$ r g \lambda \Delta l = L_f - 0$$Ora sostituiamo i dati in nostro possesso:$$ 0,25 \cdot 9,8 \cdot 3 \cdot 5 = L_f \ \Rightarrow \ L_f = 36,75 \text{ kg m}^2 / \text{s}$$Quello che vogliamo fare ora è estrapolare l'informazione sulla velocità angolare da questo momento angolare. In generale, il momento angolare $L$ può essere definito tramite il momento d'inerzia $I$ mediante l'equazione $L = I \ \omega$, dove $\omega$ è la velocità angolare di rotazione. Il momento angolare finale $L_f$, allora, sarà pari a $I_f \omega_f$, dove $\omega_f$ è la nostra incognita (finalmente!) e $I_f$ è il momento di inerzia finale totale, cioè quello della spola più quello dei $5$ metri di catena ancora avvolti su di essa. Il momento d'inerzia della spola ce lo abbiamo: indipendente dalla velocità angolare, esso è uguale a quello dei dati ($0,36 \text{ kg m}^2$). Il momento di inerzia della catena ancora avvolta, invece, dobbiamo calcolarlo: questo si può fare mediante la definizione di momento d'inerzia, $ I = m r^2$; per noi, il raggio $r$ è quello della spola ($0,25 \text{ m}$, ricorda di mettere sempre le unità di misura corrette del sistema internazionale), mentre la massa è pari a $\lambda \ 5 = 3 \cdot 5 = 15 \text{ kg}$; in definitiva, l'inerzia della catena avvolta è $15 \ (0,25)^2 = 0,9375 \text{ kg m}^2$. Possiamo quindi dire, rigirando l'equazione del momento angolare finale, che$$\omega_f = \frac{L_f}{I_f}$$Inserendo i dati in nostro possesso, arriviamo al risultato $\omega_f = 39,2 \text{ s}^{-1}$. Capisco che la soluzione è un po' lunga: spero sia tutto chiaro; se sorgono dubbi, chiedi pure :D Ciao e buona giornata.