Forma matematica di una sinusoide in 3 dimensioni
Dovrei scrivere l'espressione matematica di un'onda periodica nel caso in più dimensioni. So che nel caso di un'onda sinusoidale con propagazione unidimensionale presenta il numero d'onda e la pulsazione , quindi presumo che in 3 dimensioni mi basta indicare il vettore d'onda e il vettore pulsazione
il 11 Novembre 2015, da Giuseppe Perrotta
Ciao Giuseppe! Il vettore d'onda $\vec{k}$ è effettivamente l'analogo del numero d'onda in dimensione $3$. Il numero d'onda $k$ è legato alla lunghezza d'onda dall'equazione $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$, dato che è il numero di oscillazioni complete (che hanno periodo $2 \pi$ in quanto sinusoidali) per unità di spazio. Per un'introduzione alle onde ti rimando a questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/onde-elettromagnetiche-meccaniche-onda-longitudinale-trasversale-lunghezza-d-onda-14943.html. Ad ogni modo, il vettore d'onda $\vec{k}$ è definito in questo modo: la sua direzione è la normale alle superfici in cui la fase dell'onda è costante, il suo verso è quello della normale esterna a tali superfici, e il suo modulo è pari al numero d'onda $k$. L'equazione di un'onda tridimensionale (sinusoidale) è data dalla funzione d'onda $\psi: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ che alla posizione $\vec{r}$ e all'istante $t$ associa il valore $$ \psi (\vec{r},t) = A \cos\left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi \right)$$In questa formula, $A$, $\omega$ e $\varphi$ denotano le tipiche quantità di un'onda, cioè rispettivamente ampiezza, pulsazione e fase iniziale; $\cdot$ rappresenta il prodotto scalare tra due vettori, come definito qui https://library.weschool.com/lezione/operazioni-con-vettori-somma-differenza-prodotto-scalare-e-prodotto-vettori-6617.html. Spero di esserti stato utile! Ciao e buona giornata :D
PERFETTA!! thx4all - Giuseppe Perrotta 12 Novembre 2015