funzioni

Ciao Toni! Innanzitutto lascia che ti rimandi al nostro contenuto su funzioni iniettive, suriettive e compagnia: https://library.weschool.com/lezione/funzione-inversa-iniettiva-suriettiva-immagine-di-una-funzione-12804.html. Ci sono svariati metodi per vedere se una funzione è iniettiva o suriettiva. Prima di tutto bisogna sapere che cosa ho a disposizione: se ho il suo grafico, la sua espressione analitica, o qualcos'altro. Come spiegato sempre nello stesso contenuto di prima (alla fine), per funzioni $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ (reali di una variabile reale), se ho il grafico della funzione qualche retta orizzontale può rispondere alla nostra domanda. Prendendo la retta $y = k$, i punti di intersezione tra quella retta ed il grafico rappresentano le soluzioni dell'equazione $f(x) = k$ (non proprio, le loro ascisse sono le soluzioni, ma ci siamo capiti). Ora, una funzione è iniettiva se tutte queste equazioni hanno al massimo una soluzione, ed è suriettiva se hanno almeno una soluzione. In pratica, se, tracciando una linea orizzontale incontro il grafico della funzione più di una volta, la funzione non può essere iniettiva; se invece non incontro il grafico della funzione, questa non può essere suriettiva. Un altro metodo, se non abbiamo il grafico ma conosciamo l'espressione della funzione, è quello di risolvere l'equazione $f(x) = k$: ancora, se trovo al massimo una sola soluzione per tutti i $k$, la funzione sarà iniettiva; se esiste almeno una soluzione per qualsiasi valore di $k$, la funzione è suriettiva. Siccome le equazioni devono essere provate $\textit{per tutti i valori di } k$, la cosa rischia di essere laboriosa: si tratta infatti di equazioni parametriche (su cui abbiamo un intero corso https://library.weschool.com/corso/corso-algebra-equazioni-e-disequazioni-parametriche-16247.html), la cui risoluzione può essere più lunga di quanto ci serva. A grandi linee, ti direi che provare che una funzione sia suriettiva o iniettiva è piuttosto difficile: in molti casi, è più facile dimostrare che una funzione $\textit{non}$ è iniettiva o suriettiva. Un'ultima cosa: presta attenzione che la definizione di iniettività o suriettività coinvolgono gli insieme tra i quali opera la funzione. Ad esempio, la funzione $f(x) = x^2$ non è iniettiva né suriettiva da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, ma è sia iniettiva sia suriettiva da $\mathbb{R}^+$ a $\mathbb{R}^+$. Se hai dubbi specifici, chiedi pure! Ciao e buona giornata.