Funzioni crescenti
Salve la mia professoressa ci ha detto che ogni funzione strettamente crescente è crescente ma NON è vero che ogni funzioni crescente sia per forza strettamente crescente. Mi potete spiegare questa cosa o dare qualche piccolo esempio per dimostrarlo?
il 20 Gennaio 2016, da Miriam Di Sarno
Ciao Miriam! Dire che una funzione è "crescente" è diverso dal dire che è "strettamente crescente" su un intervallo. Come spiegato in questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/segno-della-derivata-prima-e-monotonia-di-una-funzione-7078.html, una funzione $f$ è crescente sull'intervallo $I \subset \mathbb{R}$ se$$ \forall x_1, x_2 \in I x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$Come vedi, per quanto riguarda $f$ c'è una disuguaglianza stretta: $f(x_1) > f(x_2)$. Per questo si dice che la funzione è "strettamente" crescente; inoltre, potrebbe accadere che la funzione non soddisfa la disuguaglianza stretta, ma questa: $f(x_1) \geq f(x_2)$. In questo caso, beh, ci sono vari nomi: c'è chi la chiama funzione "crescente", chi "crescente in senso lato", e chi ancora "non decrescente". Ad ogni modo, il grafico di una funzione crescente in senso lato può avere dei punti alla stessa altezza (perché nella disequazione c'è anche l'uguale), mentre quello di una funzione strettamente crescente no. Un esempio di funzione crescente ma non strettamente crescente potrebbe essere, paradossalmente, la funzione costante $f(x) = 1$. In effetti, $\forall x \in \mathbb{R}$ $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$, anche se la disequazione, in questo caso, è sempre verificata con l'uguaglianza. Spero che la differenza ti sia chiara adesso! Se hai altri dubbi, chiedi pure :3 Ciao e buona giornata.
Grazie mille sei stato gentilissimo! - Miriam Di Sarno 21 Gennaio 2016