Funzioni dominio e codominio

Ciao Leti! Innanzitutto, lascia che riporti la tua domanda per intero qua sotto, dopo averla un po' editata: c'è stato un piccolo problema tecnico e non viene visualizzata correttamente. Niente paura, stiamo lavorando per risolverlo! Ad ogni modo:$$ $$ Salve! Se mi danno una funzione a tratti composta da:$$ f(x): \begin{cases} \frac{1}{x + 2} & \text{ se } x < -2 \\ 2^{-x} & \text{ se } -2 \leq x < 1 \\ -\frac{1}{4x} + \frac{3}{4} & \text{ se } 1 \leq x \leq 3 \\ -\sqrt{-x^2 + 8x - 15} & \text{ se } 3 \leq x \leq 5 \\ -x^2 + 12x - 34 & \text{ se } x > 5 \end{cases} $$Il dominio dovrebbe essere $\mathbb{R}$, mentre il codominio $x < 4$. Nel secondo tratto se fosse scritto $ -2 < x < 1 $ il dominio dovrebbe essere $ \mathbb{R} \setminus \{ -2 \} $ giusto? Se ci fosse stata solamente la funzione omografica il codominio sarebbe $ \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} $ e dominio $ \mathbb{R} \setminus \{ -2 \} $ giusto? $$ $$Spero di aver ricopiato tutto fedelmente! Passiamo a rispondere. Il dominio di $f$ è tutto $\mathbb{R}$, dato che per ogni $x \in \mathbb{R}$ è definita $f(x)$. Il codominio non è $y < 4$ (attenzione, nel codominio ci sono le $y$! guarda qui https://library.weschool.com/lezione/come-trovare-dominio-di-funzione-matematica-esempi-10442.html), poiché $f(-2) = 2^{-(-2)} = 2^2 = 4$, anche se si può dimostrare che non ci sono altre $x \in \mathbb{R}$ per cui $f(x) > 4$. Il codominio non ha "buchi", dato che la parabola (da 5 in poi) copre tutto, dal suo vertice sino a $- \infty$, e lo spazio tra il vertice della parabola e $4$ è mappato dall'esponenziale. Quindi possiamo dire che il codominio è $y \leq 4$. Se ci fosse stato "$ -2 < x < 1 $", il dominio sarebbe stato proprio $\mathbb{R} \setminus \{ -2 \}$, dato che, in questo modo, $ f(-2)$ non sarebbe stata definita (e inoltre, il codominio sarebbe stato $y < 4$). Se ci fosse stata solo la funzione omografica, il dominio sarebbe stato $\mathbb{R} \setminus \{ -2 \}$ e il codominio $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$, dato che questi sono gli asintoti della funzione (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/come-definire-asintoto-verticale-orizzontale-funzione-matematica-10448.html). Spero sia tutto chiaro, se hai dubbi non esitare a chiedere! Ciao e buona giornata.