Geometria analitica
Che cos'è la circonferenza esclusa (in un fascio di circonferenze )e come trovarla?
il 05 Luglio 2016, da Lorenzo Iacopino
Ciao Lorenzo! In generale in geometria analitica quando si parla di "fasci" di qualche cosa, si ha un'equazione con parametro che descrive un gruppo di enti geometrici: fasci di rette, fasci di parabole, fasci di circonferenze - i casi sono tutti simili. Vediamo che in tutte questi fasci, l'equazione dipende da un parametro reale, di solito indicato dalla lettera $k$ (ma si usa $m$ per i fasci di rette propri, come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/fascio-proprio-di-rette-spiegazione-ed-esempi-6548.html). Ecco, usare un solo parametro reale fa sì che l'equazione del fascio non descriva proprio tutte le casistiche possibili: manca sempre una retta, una parabola, una circonferenza. Ad esempio, prendiamo un generico fascio di circonferenze:$$ k \left( x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 \right) + x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 $$Questa equazione descrive l'insieme delle circonferenze generate dalla combinazione delle due: il fascio dovrebbe contenere entrambe le circonferenze, ma non riusciamo mai, per nessuna scelta del parametro reale $k$, ad ottenere la prima, $ x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 $. Questa è proprio la circonferenza esclusa dal fascio. In generale quindi, cerchiamo di mettere in evidenza il parametro, davanti a una parentesi con un polinomio che descrive una circonferenza, e la circonferenza esclusa sarà proprio quella che moltiplica il parametro. Attenzione che la forma in cui le equazioni delle circonferenze ci compaiono è quella esplicita: se le abbiamo in forma implicita si può passare da una forma all'altra seguendo le formule riportate qui https://library.weschool.com/lezione/equazione-formule-circonferenza-raggio-coniche-geometria-analitica-13402.html e qui https://library.weschool.com/lezione/geometria-circonferenza-calcolo-coordinate-centro-raggio-diametro-esempi-equazione-4705.html. Spero sia tutto comprensibile: le ragioni questa esclusione sono un po' complicate, se vuoi chiarimenti chiedi pure! Ciao e buona giornata.