Induzione
1+3n <= 4^n, n € N..... non sto capendo come risolverlo!
il 22 Settembre 2015, da Andrea Manisi
Ciao Andrea! Innanzitutto, lascia che ricopi il testo della tua domanda. Abbiamo un piccolo problema di visualizzazione ^,..,^ $$ $$ $ 1+3n \leq 4^n, n \in \mathbb{N}$... non sto capendo come risolverlo! $$ $$ Eccoci. Per dimostrarlo si può ricorrere al principio di induzione (che ti ho spiegato nella risposta a questa domanda https://library.weschool.com/domanda/principio-di-induzione-15319.html): 1) Verifichiamo che la proposizione "$1+3n \leq 4^n$" sia vera per un certo $n \in \mathbb{N}$ (di solito si inizia con $1$). 2) Assumiamo che "$1+3n \leq 4^n$" sia vera per un $n \in \mathbb{N}$ generico. Sfruttando 1 e 2, occorre dimostrare che la proposizione sia vera per $n+1$, ossia che valga "$1+3(n+1) \leq 4^{n+1}$". I conti non sono molto difficili, basta tenere presente le proprietà delle potenze: https://library.weschool.com/lezione/proprieta-potenze-potenza-di-potenza-matematica-12977.html. Buon lavoro :3
ho fatto i calcoli della proposizione per la proposizione P(n+1), e giungo a questo punto: 4+3n <= 4*4^n.....ma ora sono bloccato. - Andrea Manisi 22 Settembre 2015
Ciao Andrea! Scusa, ma mi tocca ricopiare ancora una volta il testo della tua risposta: il problema tecnico persiste :/ $$ $$ ho fatto i calcoli della proposizione per la proposizione $P(n+1)$, e giungo a questo punto: $ 4+3n \leq 4 \cdot 4^n $ .....ma ora sono bloccato. $$ $$ Per cominciare direi che possiamo dividere tutto per $4$, così otteniamo $1+\frac{3}{4} n \leq 4^n$. Se dimostriamo questa disequazione, abbiamo dimostrato $P(n+1)$. Sappiamo tutti che $\frac{1}{4}n \leq n$, da cui $\frac{3}{4} n \leq 3 n$, donde $1 + \frac{3}{4} n \leq 1 + 3n$: ma quest'ultimo membro, per ipotesi di induzione, ha la proprietà $P(n)$, cioè $1 + 3n \leq 4^n$. In definitiva, abbiamo la catena di disuguaglianze $1 + \frac{3}{4} n \leq 4^n \leq 1 + 3n \leq 4^n$, dalla quale segue che $1 + \frac{3}{4} n \leq 4^n$, che è quanto dovevamo dimostrare :3