Induzione

1+3n <= 4^n, n € N..... non sto capendo come risolverlo!

il 22 Settembre 2015, da Andrea Manisi

Giovanni Barazzetta il 22 Settembre 2015 ha risposto:

Ciao Andrea! Innanzitutto, lascia che ricopi il testo della tua domanda. Abbiamo un piccolo problema di visualizzazione ^,..,^ $1+3n \leq 4^n, n \in \mathbb{N}$ ... non sto capendo come risolverlo! Eccoci. Per dimostrarlo si può ricorrere al principio di induzione (che ti ho spiegato nella risposta a questa domanda https://library.weschool.com/domanda/principio-di-induzione-15319.html): 1) Verifichiamo che la proposizione " $1+3n \leq 4^n$ " sia vera per un certo $n \in \mathbb{N}$ (di solito si inizia con $1$ ). 2) Assumiamo che " $1+3n \leq 4^n$ " sia vera per un $n \in \mathbb{N}$ generico. Sfruttando 1 e 2, occorre dimostrare che la proposizione sia vera per $n+1$ , ossia che valga " $1+3(n+1) \leq 4^{n+1}$ ". I conti non sono molto difficili, basta tenere presente le proprietà delle potenze: https://library.weschool.com/lezione/proprieta-potenze-potenza-di-potenza-matematica-12977.html. Buon lavoro :3

ho fatto i calcoli della proposizione per la proposizione P(n+1), e giungo a questo punto: 4+3n <= 4*4^n.....ma ora sono bloccato. - Andrea Manisi 22 Settembre 2015

Giovanni Barazzetta il 22 Settembre 2015 ha risposto:

Ciao Andrea! Scusa, ma mi tocca ricopiare ancora una volta il testo della tua risposta: il problema tecnico persiste :/ ho fatto i calcoli della proposizione per la proposizione $P(n+1)$ , e giungo a questo punto: $4+3n \leq 4 \cdot 4^n$ .....ma ora sono bloccato. Per cominciare direi che possiamo dividere tutto per $4$ , così otteniamo $1+\frac{3}{4} n \leq 4^n$ . Se dimostriamo questa disequazione, abbiamo dimostrato $P(n+1)$ . Sappiamo tutti che $\frac{1}{4}n \leq n$ , da cui $\frac{3}{4} n \leq 3 n$ , donde $1 + \frac{3}{4} n \leq 1 + 3n$ : ma quest'ultimo membro, per ipotesi di induzione, ha la proprietà $P(n)$ , cioè $1 + 3n \leq 4^n$ . In definitiva, abbiamo la catena di disuguaglianze $1 + \frac{3}{4} n \leq 4^n \leq 1 + 3n \leq 4^n$ , dalla quale segue che $1 + \frac{3}{4} n \leq 4^n$ , che è quanto dovevamo dimostrare :3