Principio di induzione

Ciao Andrea! Dunque, il principio di induzione si può usare per dimostrare un'affermazione che deve essere valida per un'infinità numerabile di casi. Ad esempio, permettimi di riscrivere il tuo problema:$$3 \sum_{i=1}^n \left ( 4 i^2 -i +1 \right ) = 4 n^3 + \frac{9}{2} n^2 +\frac{7}{2} n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$$L'infinità di casi è rappresentata da "$\forall n \in \mathbb{N}$". Chiamiamo generalmente $P(n)$ la proposizione che dobbiamo dimostrare essere vera $\forall n \in \mathbb{N}$ (nel nostro caso, una certa sommatoria deve essere uguale a una certa espressione). Il principio di induzione ci dice che: se (1) $P$ è vera per un valore specifico (ad esempio, $P(1)$ è vera) e se (2), supponendo che $P$ sia vera per un generico $n$, riesco a dimostrare che è vera per $n+1$, allora da (1) + (2) segue che $P$ è vera per ogni possibile valore di $n$. Spesso (2) si chiama "ipotesi di induzione". Nel nostro caso dobbiamo quindi procedere così: innanzitutto, dimostriamo che $P(1)$ è vera. Ma questo è facile: $P(1)$ è l'uguaglianza $$ P(1): \ 3 \sum_{i=1}^1 \left ( 4 i^2 -i +1 \right ) = 4 1^3 + \frac{9}{2} 1^2 +\frac{7}{2} 1 $$Svolgendo semplici conti, otteniamo che $12 = 12$, il che è vero, e possiamo passare al punto successivo. Ora supponiamo che la formula valga per un generico $n$: sfruttando questo fatto dobbiamo riuscire a provare che la formula funziona anche per $n+1$, cioè che vale$$ P(n+1): \ 3 \sum_{i=1}^{n+1} \left ( 4 i^2 -i +1 \right ) = 4 (n+1)^3 + \frac{9}{2} (n+1)^2 +\frac{7}{2} n $$Per quando riguarda il membro di destra, è meglio riscriverlo sfruttando alcuni prodotti notevoli (che puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/prodotti-notevoli-somma-differenza-cubi-cubo-binomio-quadrato-trinomio-3197.html): otteniamo che questo è pari a $4n^3 + \frac{33}{2} n^2 + \frac{49}{2} n + 12$. Per quanto riguarda il membro di sinistra, possiamo usare un piccolo accorgimento: riscriviamo la sommatoria $3 \sum_{i=1}^{n+1} \left ( 4 i^2 -i +1 \right ) $ come $3 \sum_{i=1}^{n} \left ( 4 i^2 -i +1 \right ) + 4(n+1)^2 - (n+1) + 1$, esplicitando il termine "$n+1$" della sommatoria. Detto questo, per la prima parte possiamo sfruttare l'ipotesi di induzione: supponiamo infatti che valga la formula per $n$, cioè che $3 \sum_{i=1}^{n} \left ( 4 i^2 -i +1 \right ) = 4 n^3 + \frac{9}{2} n^2 +\frac{7}{2} n$. In definitiva il membro a sinistra dell'espressione di $P(n+1)$ vale: $4 n^3 + \frac{9}{2} n^2 +\frac{7}{2} n + 4(n+1)^2 - (n+1) + 1$. Svolgendo un po' di conti, otteniamo proprio $4n^3 + \frac{33}{2} n^2 + \frac{49}{2} n + 12$: siamo giunti ad un'identità, quindi $P(n+1)$ è vera. Per il principio di induzione, quindi, $P(n)$ è vera $\forall n \in \mathbb{N}^*$. Spero di avere chiarito i tuoi dubbi! Fammi sapere :3

Grazie mille......E' giusto!! Grazie.....Ora mi è più chiaro! - Andrea Manisi 18 Settembre 2015

Non ho capito che metodo hai usato per riscrivere il membro di sinistra...Me lo puoi spiegare? - Andrea Manisi 18 Settembre 2015

Il membro di sinistra è una sommatoria, che in generale è la somma di un po' di termini. Grazie alla proprietà associativa della somma (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/proprieta-associativa-proprieta-dissociativa-moltiplicazione-addizione-aritmetica-14881.html) posso arrangiare i vari addendi un po' come mi pare. Scelgo di raggruppare i primi $n$ (la parte $3 \sum_{i=1}^{n} \left ( 4 i^2 -i +1 \right ) $), questo perché con l'ipotesi di induzione questa parte la so sbrigare; e poi di lasciare l'ultimo, l'$n+1$-esimo, da solo, perché lo so calcolare con i prodotti notevoli. Poi sommo tutto e voilà, il gioco è fatto! - Giovanni Barazzetta 18 Settembre 2015

questa è la procedura per tutti gli esercizi?? - Andrea Manisi 19 Settembre 2015

Eh :) Se ci fosse una procedura per risolvere tutti gli esercizi, studieremmo la procedura e non faremmo gli esercizi. Il punto di forza di questa tipologia di esercizi è che so già che cosa devo dimostrare e che cosa utilizzare, che è un gran passo avanti! - Giovanni Barazzetta 22 Settembre 2015